¿Qué muestra el campo eléctrico complejo?

Question

Tenemos un campo eléctrico complejo. ¿Existe alguna definición para la parte absoluta e imaginaria de un campo eléctrico complejo? ¿Qué representan?

Answer 1

La respuesta de Jonas muestra una forma en la que los números complejos son útiles para representar cantidades que varían sinusoidalmente con el tiempo. La cantidad $e^{i\,(\omega\,t + \delta)}$ cuando sustituye a $\cos(\omega\,t+\delta)$ en una ecuación lineal (o $\sin(\omega\,t+\delta)$ si uno "favorece la parte imaginaria" en palabras de Jonas) se llama fásor . El método de los fasores se aplica ampliamente en la física, no sólo a los campos eléctricos.

Sin embargo, en el caso particular de las ecuaciones de Maxwell, existe una forma radicalmente diferente de introducir equivalentes complejos del campo electromagnético que tiene una interpretación clara en términos de polarización. En la práctica, acaba utilizándose de forma muy parecida al método de los fasores, aunque su fundamento es totalmente diferente.

Se trata de diagonalizar las ecuaciones de rizo de Maxwell (leyes de Faraday y Ampère) con la Campos de Riemann-Silberstein que son:

$$\vec{F}_\pm = \sqrt{\epsilon_0} \,\vec{E} \pm i\,\sqrt{\mu_0} \,\vec{H}\quad\quad\tag 1$$

y que desacoplar las ecuaciones del rizo de Maxwell en la siguiente forma:

$$i\, \partial_t \vec{F}_\pm = \pm c\,\nabla \wedge \vec{F}_\pm\quad\quad\tag2$$

Nótese que tomando la divergencia de ambos lados de (2) obtenemos $i\, \partial_t \vec{F}_\pm =0$ de modo que si los campos son variables en el tiempo y no tienen componente de CC (frecuencia cero) ( es decir $\partial_t$ es invertible), (2) también implica las leyes de Gauss $\nabla\cdot\vec{F}_\pm=0$ también.

Ahora uno podría simplemente sentarse con campos eléctricos y magnéticos reales y sólo se necesitaría un vector complejo de Riemann-Silberstein (cualquiera de $\vec{F}_\pm$ será tan bueno como el otro) para sustituir a dos campos reales y entonces las ecuaciones de rizo de valor real se sustituyen por una de valor complejo. Así que se interpretaría la parte real como el campo $\sqrt{\epsilon_0} \,\vec{E}$ y la parte imaginaria como $\pm\sqrt{\mu_0} \,\vec{H}$ (dependiendo de si $\vec{F}_\pm$ ) al final del cálculo.

Sin embargo, resulta que tiene más sentido físico mantener ambos vectores, pero desechar sus partes de frecuencia negativa y mantener sólo las partes de frecuencia positiva de ambos vectores. Lo más interesante de este segundo enfoque es que si la luz está polarizada circularmente hacia la derecha, sólo $\vec{F}_+$ es distinto de cero; si se deja, sólo $\vec{F}_-$ es distinto de cero. Así que las partes de frecuencia positiva de los campos electromagnéticos están desacopladas precisamente dividiéndolos en componentes polarizados circularmente a la izquierda y a la derecha .

Ahora, para restaurar la parte de frecuencia negativa de un campo a partir de la parte de frecuencia positiva solamente, se añade el conjugado complejo, es decir todavía estamos tomando efectivamente la parte real de la $\vec{F}_\pm$ campos al final del cálculo, por lo que los aspectos prácticos son bastante parecidos al método fasorial. Pero ahora tomamos:

$$\begin{array}{lcl} \vec{E} &=&\operatorname{Re}\left(\frac{\vec{F}_+ + \vec{F}_-}{2\,\epsilon_0}\right)\\ \vec{H} &=&\operatorname{Re}\left(\frac{\vec{F}_+ - \vec{F}_-}{2\,i\,\,\mu_0}\right)=\operatorname{Im}\left(\frac{\vec{F}_+ - \vec{F}_-}{2\,\mu_0}\right) \end{array} \tag 3$$

para obtener nuestros campos "físicos" al final del cálculo. Pero, dada la interpretación física, manifiestamente covariante de Lorentz, de los vectores de Riemann-Silberstein de los que hablo a continuación (ver "material más avanzado" más abajo), se podría decir también que $\vec{F}_\pm$ son los campos físicos (aunque no sean los que se miden con un voltímetro o magnetómetro vectorial). En este marco de pensamiento, que una cantidad sea real o imaginaria tiene un geométrico que significa si es un bivector o un dual de Hodge del mismo en el álgebra de Clifford $C\ell_3(\mathbb{R})$ donde el ahora "espinor" $\mathbf{F}_\pm$ en vivo y la entidad $i$ es ahora el pseudoescalar unitario en esta álgebra. Los bivectores y sus duales de Hodge se mezclan y transforman de forma diferente bajo la transformación de Lorentz (8), por lo que, si se quiere, se puede tomar muy sólidamente esta diferencia como el significado de las partes real e imaginaria.

Por último, dado que ahora (2) se limita a dos ecuaciones en frecuencia positiva (por tanto, energía positiva), podemos interpretar (2) como la evolución del tiempo, es decir Ecuación de Schrödinger para el estado cuántico de un primer fotón cuantizado. Ver:

• I. Bialynicki-Birula, "Función de onda del fotón" en Progreso en Óptica 36 V (1996), pp. 245-294 también se puede descargar de arXiv:quant-ph/0508202 *

para más detalles.

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Material más avanzado

Los vectores Riemann-Silbertein son en realidad el tensor electromagnético (Maxwell) $F^{\mu\nu}$ disfrazado. Podemos escribir las ecuaciones de Maxwell en forma de cuaterniones:

$$\begin{array}{lcl} \left(c^{-1}\partial_t + \sigma_1 \partial_x + \sigma_2 \partial_y + \sigma_3 \partial_z\right) \,\mathbf{F}_+ &=& {\bf 0}\\ \left(c^{-1}\partial_t - \sigma_1 \partial_x - \sigma_2 \partial_y - \sigma_3 \partial_z\right) \,\mathbf{F}_- &=& {\bf 0}\end{array}\tag 4$$

donde $\sigma_j$ son las matrices de espín de Pauli y las componentes del campo electromagnético son

$$\begin{array}{lcl}\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0}}\mathbf{F}_\pm &=& \left(\begin{array}{cc}E_z & E_x - i E_y\\E_x + i E_y & -E_z\end{array}\right) \pm i \,c\,\left(\begin{array}{cc}B_z & B_x - i B_y\\B_x + i B_y & -B_z\end{array}\right)\\ & =& E_x \sigma_1 + E_y \sigma_2+E_z\sigma_3 + i\,c\,\left(B_x \sigma_1 + B_y \sigma_2+B_z\sigma_3\right)\end{array}\tag 5$$

Las matrices de espín de Pauli son simplemente las unidades de cuaterniones imaginarios de Hamilton reordenadas y donde $i=\sigma_1\,\sigma_2\,\sigma_3$ para que $i^2 = -1$ . Cuando los marcos de referencia inerciales se desplazan mediante una transformación de Lorentz adecuada:

$$L = \exp\left(\frac{1}{2}W\right)\tag 6$$

donde:

$$W = \left(\eta^1 + i\theta \chi^1\right) \sigma_1 + \left(\eta^2 + i\theta \chi^2\right) \sigma_2 + \left(\eta^3 + i\theta \chi^3\right) \sigma_3\tag7$$

codifica el ángulo de rotación de la transformación $\theta$ los cosenos de dirección de $\chi^j$ de sus ejes de rotación y sus rapideces $\eta^j$ las entidades $\mathbf{F}_\pm$ se someten al mapa de espinores:

$${\bf F} \mapsto L {\bf F} L^\dagger\tag 8$$

Aquí, en realidad se trata de la doble tapa $PSL(2,\mathbb{C})$ de la componente conectada a la identidad del grupo de Lorentz $SO(3,1)$ Así que tenemos mapas de espinores que representan las transformaciones de Lorentz, al igual que debemos utilizar mapas de espinores para que un cuaternión imparta su rotación representada en un vector.

Answer 2

De hecho, los campos eléctricos son reales. El uso de exponenciales complejas no ofrece ninguna ventaja aparte de cálculos convenientes. La interpretación suele ser que la parte imaginaria se descarta y solo se toma en cuenta la parte real como, bueno, real. Por supuesto, esto es completamente arbitrario. Uno también podría preferir la parte imaginaria y considerarla como representante de la física. Esto funciona porque normalmente solo sumamos campos eléctricos o los multiplicamos por escalares (operaciones lineales). Si el escalar también es complejo, podemos usar esto para representar cambios de fase, lo cual también es conveniente. Sin embargo, hay que prestar atención al realizar funciones de orden superior de esas cantidades complejas. Por ejemplo, la densidad de energía de campo eléctrico que normalmente sería proporcional a $|\vec E|^2$ (donde las barras verticales se refieren a la norma del vector euclidiano en lugar del módulo complejo) debe ser reemplazada por $(Re(\vec E))^2.

Otra cosa común es escribir algo así

$\vec E(\vec x,t)=\vec E_0\,(e^{i(k\vec x-\omega t)} + c.c.).$

c.c. significa complejo conjugado, por lo tanto, se toma el conjugado complejo del primer término y se suma de manera que el resultado sea dos veces la parte real. Por lo tanto, en esta notación, el campo eléctrico es real pero aún podemos trabajar con exponenciales complejas y no tenemos que escribir el conjugado complejo.