Comprobación de la prueba de si $\{x_n\}$ es monótona entonces $\{y_n\} = {1\over x_1 + x_2 + \dots + x_n}$ es monótona

Question

Dejemos que $n\in \mathbb N$ y $\{x_n\}$ es una secuencia monótona. Demuestra que: $$ \{y_n\} = {1\over x_1 + x_2 + \dots + x_n} $$ también es una secuencia monótona.

Dado $\{x_n\}$ es monótona entonces por definición: $$ \forall n\in\mathbb N:x_n \le x_{n+1} \tag1 $$ o: $$ \forall n\in\mathbb N:x_n \ge x_{n+1} \tag2 $$ Probemos por $(1)$ primero. Usando la definición de una secuencia monótona: $$ x_1 \le x_2 \le x_3 \le \dots \le x_n $$ Así que de esto: $$ x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n \le x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n + x_{n+1} \tag 3 $$ Así, tomando el recíproco de $(3)$ lo entendemos:

$$ {1\over x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n} \ge {1\over x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n + x_{n+1}} $$ Pero LHS es $y_n$ y el lado derecho de la desigualdad es $y_{n+1}$ por lo que por definición de secuencia monótona concluimos que $y_n$ también es monótona.

Caso $(2)$ se obtiene de forma similar. Lo que me molesta es que lo siguiente sigue siendo válido (al menos para $x_n \ge 0$ ):

$$ x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n \le x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n + x_{n+1} $$

Y volvemos a tener eso:

$$ {1\over x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n} \ge {1\over x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n + x_{n+1}} $$

¿Pero cómo es posible? De lo anterior se desprende que $y_n$ siempre es monótonamente decreciente, lo que parece falso. Por ejemplo, cuando $\sum_{k=1}^nx_k < 1$ .

¿Dónde he tomado el camino equivocado?

Actualización

Como se muestra en las respuestas y en los comentarios, la monotonicidad sólo se preserva suponiendo que todos los $x_n$ tienen el mismo signo.

Answer 1

La secuencia $-3,-2,-1,0,1,2,4,5,\dots$ es monótona, la secuencia de las sumas parciales $-3,-5,-6,-6,-5,-3,1,6,\dots$ es no monótona, y la secuencia de los recíprocos de las sumas parciales sigue sin ser monótona.

Para estas secuencias, la propiedad monótona se mantiene si el $x$ ¡s tienen todos el mismo signo!

Answer 2

Usted asume erróneamente (tanto en el caso (1) como en el caso (2)) que $x\le y$ implica $\frac1x\ge\frac1y$ mientras que este es el caso sólo si $xy>0$ . Considere la secuencia $x_1=-6$ , $x_2=2$ , $x_3=3$ , $x_4=4$ y luego lo que sea.

Answer 3

Para $x_i>0$ Es trivial:

$$y_n = {1\over x_1 + x_2 + \dots + x_n}$$

$$y_{n+1} = {1\over x_1 + x_2 + \dots + x_n + x_{n+1}}$$

$$y_{n+1} -y_n= {1\over x_1 + x_2 + \dots + x_n + x_{n+1}}-{1\over x_1 + x_2 + \dots + x_n}$$

$$y_{n+1} -y_n= {-x_{n+1} \over (x_1 + x_2 + \dots + x_n + x_{n+1})(x_1 + x_2 + \dots + x_n)}<0$$

$$y_{n+1} <y_n$$