Índice del subgrupo del número real en el número complejo

Question

El número complejo es un grupo bajo adición. El Número Real es su subgrupo. Es el subgrupo trivialmente normal. Quería encontrar su índice.
Pensé en un plano de 2 dimensiones con eje X y eje Y. Su coset puede ser dado en forma como $(0,a)+(R,0)$ Dónde $a$ es cualquier número real.
Esto dice entonces que su índice es igual a la cardinalidad de R.
¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tienes razón, el índice es $|\Bbb R|$ porque ese es el número de cosets $\Bbb R$ tiene en $\Bbb C$ . Geométricamente, cada coset es una línea horizontal en el plano complejo, y cada línea horizontal es un coset. Tu argumento es un análogo algebraico exacto de eso.

Answer 2

Otra forma de ver esto: como grupos abelianos aditivos $\mathbb{C}=\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ . Aquí $\mathbb{R} \cong \{(r,0): r \in \mathbb{R}\}$ . Ahora define un mapa $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}$ , por $z \mapsto Im(z)$ . Se trata de un homomorfismo sobreyectivo, con núcleo $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, $\mathbb{C}/\mathbb{R} \cong \mathbb{R}$ como grupos aditivos.