Problema de las altitudes en un triángulo

Question

Alturas $\overline{AP}$ y $\overline{BQ}$ de un triángulo agudo $\triangle ABC$ se cruzan en el punto $H$ . Si $HP=5$ mientras que $HQ=2$ y, a continuación, calcular $(BP)(PC)-(AQ)(QC)$ .

Cuando vi por primera vez este problema, pensé inmediatamente en triángulos similares. Sin embargo, actualmente no puedo encontrar la solución con ellos.

Se agradece mucho la ayuda.

Answer 1

Por la similitud de los triángulos correspondientes: $$\frac{HP}{BP}=\frac{HQ}{QA}=\frac{PC}{AP}=\frac{QC}{BQ}$$ sigue: $$BP\cdot PC-AQ\cdot QC =HP\cdot AP-HQ\cdot BQ\\ =HP(HP+HA)-HQ(HQ+HB)=HP^2-HQ^2=21,$$ donde la identidad $$PH\cdot HA=QH\cdot HB\tag{*}$$ se utilizó.

La última identidad puede obtenerse a partir del problema resuelto en otro lugar donde se demostró (en la notación de la referencia) que $HG=2HF$ y $HK= 2 HD$ . La identidad (*) se deduce entonces de la conocida igualdad para las cuerdas que se intersecan: $$ AH\cdot HK=CH\cdot HG \Leftrightarrow AH\cdot 2 HD=CH\cdot 2 HF\Leftrightarrow AH\cdot HD=CH\cdot HF. $$

Answer 2

Sugerencia: ya que $ABPQ$ es cíclico, se deduce de la poder de un punto eso:

$$CP \cdot CB = CQ \cdot CA \;\;\iff\;\; CP \cdot (CP+PB) = CQ \cdot (CQ+QA)$$

Usando esos triángulos $\triangle HPC, \triangle HCQ$ son correctos, entonces se deduce que:

$$\require{cancel} CP \cdot PB - CQ \cdot QA = CQ^2 - CP^2= (\cancel{CH^2}-HQ^2)-(\cancel{CH^2}-HP^2) = \ldots $$