Encontrar todos los pares de enteros $(x, y)$ tal que $x^3+y^3=(x+y)^2.$

Question

Encontrar todos los pares de enteros $(x, y)$ tal que $$x^3+y^3=(x+y)^2.$$

Desde $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$ conseguimos que $$x^2-xy+y^2=x+y$$

esto se puede expresar como $$x^2-(y-1)x+y^2-y=0.$$

Dado que queremos números enteros, probablemente deberíamos mirar cuando el discriminante es positivo

$$\Delta = (y-1)^2-4(y^2-y)=-3y^2+6y+1$$

por lo que para $\Delta \geqslant 0$

$$-\frac{2\sqrt3}{3}+1 \leqslant y \leqslant \frac{2\sqrt3}{3}+1$$

las únicas soluciones posibles son $y=0,1,2.$ Sin embargo, no veo cómo esto es útil en absoluto aquí. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Ya casi has llegado. Sustituya $y = 0, 1, 2$ y resolver para $x$ en cada caso.

Cuando $y=0$ la ecuación es $x^3 = x^2$ . Las dos soluciones para $x$ son $0, 1$ .

Cuando $y = 1$ la ecuación es $x^3+1 = (x+1)^2$ . Expandir y reordenar consigue $x^3-x^2-2x=0$ y las soluciones son $x = -1, 0, 2$ .

Cuando $y = 2$ la ecuación es $x^3+8 = (x+2)^2$ . Expandir y reordenar consigue $x^2-x^2-4x+4 = 0$ y las soluciones son $-2, 1, 2$ . (Puedes utilizar la RRT para obtener las soluciones).

Hasta ahora, tenemos ocho pares, a saber $$(0, 0), (1, 0), (-1, 1), (0, 1), (2, 1), (-2, 2), (1, 2), (2, 2).$$

Sin embargo, también hay que tener en cuenta que cuando $x = -y$ la ecuación se cumple, ya que $$(-y)^3+y^3 = ((-y)+y)^2 \rightarrow 0 = 0$$

Por lo tanto, todas las soluciones posibles son $$(0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), \text{ and } (x, -x).$$

Answer 2

Las soluciones cuando $x=0,$ $y=0,$ $x=y$ y $x+y=0$ ya se han presentado. Doy un nuevo argumento para el caso restante. Sea $y=-x+t,$ donde ambos $x$ y $t$ son distintos de cero. Con esta sustitución, la ecuación original se convierte en $$3x^2-3tx+t^2-t=0\tag1$$ Como polinomio en $x,$ el discriminante para (1) es $$ D=12t-3t^2=3t(4-t) \tag2$$ Si $D=0,$ entonces $t=4,$ dando la solución $(x,y)=(2,2).$ El número entero $D$ es positivo si $1\le t\le3.$ Desde $D$ debe ser un cuadrado, se deduce de (2) que $3$ divide $t$ o $4-t.$ Por lo tanto, $t$ es $1$ o $3.$ Para $t=1,$ (1) nos da $(x,y)=(0,1)\ \text{and}\ (1,0),$ que no son nuevos. Para $t=3,$ (1) implica que $x$ es $1$ o $2,$ dando las soluciones $(1,2)\ \text{and}\ (2,1).$