Demostrar que una secuencia es monótona creciente y acotada.

Question

La función es $$a_n = \frac{(n+1)^{\frac{1}{(n+1)}}}{n^{\frac{1}{n}}}$$

Acabo de conseguir probar $$(n+1)^{\frac{1}{(n+1)}} < n^{\frac{1}{n}} \text{if n > 4} $$

Sólo necesito demostrar que la secuencia anterior está acotada por encima de 1 y es una secuencia creciente. Encontrar el límite no es un problema. Puedo usar el límite a/b para demostrar que es 1.

Answer 1

$$\log a_n=\frac{\log(n+1)}{n+1}-\frac{\log n}n$$

Entonces $$\log a_{n+1}-\log a_n=\frac{\log(n+2)}{n+2}-\frac{2\log(n+1)}{n+1}+\frac{\log n}n$$

La segunda derivada de la función $f(x)=\frac{\log x}x$ es $$\frac{2\log x -3}{x^3}$$ que es positivo para $x>\exp(3/2)$ . Así que $f$ es convexo para estos valores. Esto demuestra que $\log a_{n+1}-\log a_n$ es positivo para un tamaño suficientemente grande $n$ (es decir, para $n\ge 5$ ). La monotonicidad de $\log$ implica que $a_n$ también está aumentando.

Answer 2

Ya tienes eso $a_n\leq 1$ por lo que sólo hay que demostrar que la secuencia $\{a_n\}$ es eventualmente creciente, lo que equivale a demostrar que la secuencia $\left\{n^{1/n}\right\}$ es eventualmente log-convexo. Así que sólo tenemos que demostrar que la función $f(x)=\frac{\log x}{x}$ es convexo en algún intervalo de la forma $(a,+\infty)$ . Desde: $$ f''(x) = \frac{2\log x-3}{x^3} $$ con la elección $a=e^{3/2}$ todo funciona bien.

Answer 3

Se puede demostrar que n^(1/n) converge a 1. La prueba podría ser la siguiente: Sea a(n) la secuencia n^(1/n), y sea b(n)= a(n) +1, por lo que n^(1/n)= (1 + b(n)), lo que implica que n= (1 + b(n))^n, pero (p + q)^n = 1 + n p + (n (n-1)/2)*(p^2) q + ... (hasta el enésimo término), por lo que (p + q)^n > (n (n-1)/2)*(p^2) q, por lo que n > (n (n-1)/2)*(b(n)^2), y por tanto, b(n) < sqrt(2)/sqrt(n-1), que converge a 0, y b(n)>0, por lo que b(n) converge a 0, por el lema de Sandwich. Ahora, a(n) = b(n) + 1, así que por el Álgebra de las Secuencias Convergentes, a(n) converge a 1. Ahora, sabes que las secuencias en el denominador y el numerador de la secuencia dada c(n), convergen a 1, y la secuencia del denominador n^(1/n) nunca es 0, por lo que c(n), la secuencia dada, debe converger a 1/1 = 1.