¿Minimizadores de funciones polinómicas?

Question

Dejemos que $p: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ sea una función polinómica de dos variables reales. Supongamos que

(P) $\; \; \; \; \; \; p(x,y) \ge 0, \; \; \forall \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 $

1: Demostrar que si $p$ es de grado dos, tiene un minimizador sobre $\mathbb{R}$ .

2: Demostrar que si una función polinómica $p$ verifica la propiedad (P) su grado es necesariamente par.

3: Supongamos que el grado $p=2n$ con $n \gt 1 $ . ¿Implica la propiedad (P) la existencia de un minimizador para $p$ en $\mathbb{R}$ ? $$\\ \\$$

Mis ideas:

Desde $f(x,y)$ es un polinomio de grado dos, sería de la forma $$ f(x,y) = ax^2 +by^2 + cx + dy + kxy + l $$

Tomando todas las segundas derivadas para calcular el hessiano se obtiene:

$$\left\lbrack \matrix{2a & k\cr k & 2b} \right\rbrack$$

Mi corazonada es que como la función tiene que ser igual o mayor que cero, $a, b$ y $k$ tiene que ser no negativo, lo que significaría que el hessiano es siempre no negativo, lo que creo que significaría que tiene que haber un minimizador.

No estoy muy seguro de las otras partes, pero creo que la respuesta a la parte "3" es SÍ. Al menos un minimizador local creo

Answer 1

(1) y (2) son verdaderas, pero (3) es falsa, y no se necesita ninguna Hessiana.

(1) es verdadera : especializando (P) con $x=0$ vemos que $by^2+dy+l\geq 0$ para cualquier $y$ . Así que, o bien $b>0,d^2-4bl \leq 0$ o $b=d=l=0$ . En este último caso, tenemos $f(x,y)=ax^2+cx+kxy=x(ax+c+ky)$ Así que $f(1,y)=a+c+ky$ y (P) fuerzas $k=c=0,a\geq 0$ Entonces $0$ es un minimizador.

Así que podemos asumir sin pérdida que $b>0,d^2-4bl \leq 0$ . Del mismo modo, el intercambio de $x$ y $y$ podemos suponer además $a>0,c^2-4al\geq 0$ .

A continuación, utilizamos la técnica clásica de "completar el cuadrado"; es decir escribimos

$$ f(x,y)=ax^2+cx+b\bigg(\big(y+\frac{d+kx}{b}\big)^2-\big(\frac{d+kx}{b}\big)^2\bigg)+l= g(x,Y) $$ donde $Y=y+\frac{d+kx}{b}$ y

$$ g(x,Y)=ax^2+cx-b\big(\frac{d+kx}{b}\big)^2+bY^2+l $$

Vemos que $g$ satisface $(P)$ al igual que $f$ . Por lo tanto, la sustitución de $f$ con $g$ podemos suponer sin pérdida que $d=k=0$ . Del mismo modo, completando el cuadrado en $x$ podemos suponer además que $c=0$ . Entonces $f(x,y)=ax^2+by^2+l$ con $a,b$ no negativo, y $l$ es un minimizador.

(2) queda claro al especializar $(P)$ a $f(t,t)$ que es un polinomio univariado con un límite inferior, por lo que debe ser de grado par.

(3) Contraejemplo : $f(x,y)=x^2+(xy-1)^2$ . Tenga en cuenta que

$f(\frac{1}{n},n)=\frac{1}{n^2}$ para que $0$ es un límite inferior, pero nunca se se alcanza.