¿Cómo resolvió la integración de Lebesgue el problema de que al cambiar el orden de integración cambiará el valor de la misma?

Question

Nuestro profesor comenzó un curso de teoría de la medida exponiendo los problemas de la integración de Riemann. Uno de los problemas que \she se afirma la siguiente doble integración:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} dy dx = \frac{-\pi}{4}$ pero $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} dx dy = \frac{\pi}{4}.$

Mi pregunta es:

He estudiado la integración de Lebesgue, pero hasta ahora no me queda claro cómo la integración de Lebesgue resolvió el problema de que cambiar el orden de integración cambiará el valor de la integración? ¿Es por Fubini? si es así, ¿cuál fue la solución?

¿Puede alguien explicarme esto, por favor?

Answer 1

Si $f:[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ es integrable en Lebesgue, entonces tendríamos $\int_{[0,1]^2} |f| < \infty$ y el teorema de Fubini garantizaría que las integrales intercaladas son iguales.

Sin embargo, en este caso, utilizando coordenadas polares, tenemos

$$\{(r,\theta): 0\leqslant r \leqslant 1, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi/2\} \subset [0,1]^2,$$

y vemos que

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{|x^2 - y^2|}{(x^2 + y^2)^2} \,dy\, dx > \int_0^{\pi/2}\int_0^1\frac{|r^2\cos^2 \theta - r^2\sin^2 \theta|}{(r^2)^2}\, r \, dr \, d\theta \\= \int_0^1 \frac{dr}{r}\int_0^{\pi/2}|\cos^2 \theta - \sin^2 \theta| \, d\theta = \infty$$