Preparado: Volumen por integración

Question

Tengo dificultades para establecer la ecuación.

Encuentre el volumen ligado por $$y = x; y = 0; x = 2; x = 4$$

y girado alrededor de $x = 1$

El problema que tengo es que me sale una respuesta final de $\frac{16\pi}{3}$ ... lo que claramente es incorrecto.

Answer 1

Haz un dibujo. Usamos conchas cilíndricas. Tome una tira vertical de ancho " $dx$ " pasando de $x$ a $x+dx$ y girar alrededor de $x=1$ . Obtenemos una cáscara cilíndrica de altura $y$ y el radio $x-1$ , por lo que de volumen aproximado $2\pi y(x-1)\,dx$ . "Sumar" (integrar) de $x=2$ a $x=4$ . Desde $y=x$ el volumen es $$\int_2^4 2\pi x(x-1)\,dx.$$

Answer 2

Me alegra ver que te das cuenta de que un volumen negativo no tiene mucho sentido.

Dicho esto, tratemos de analizar este problema. Obsérvese que tenemos $$ V = \int_0^4 A(y) \, \mathrm{d} y $$ donde $A(y)$ representa el área de un disco en un determinado $y$ . Tenemos que el radio exterior de rotación será $$ r_{out}(y) = 3 $$ y entonces el interior será $$ r_{in}(y) = \begin{cases} 1 & 0 \le y \le 2 \\ y - 1 & 2 < y \le 4 \end{cases} $$ por lo que finalmente nuestra función de área será $$ A(y) = \pi \left( r_{out}^2(y) - r_{in}^2 (y) \right) $$ y ahora podemos integrar: $$ \begin{eqnarray} V & = & \pi \int_0^4 r_{out}^2(y) - r_{in}^2 (y) \, \mathrm{d} y \\ & = & \pi \left( \int_0^2 3^2 - 1^2 \, \mathrm{d} y + \int_2^4 3^2 - (y-1)^2 \, \mathrm{d} y\right) \\ & = & \pi \left( 16 + \frac{28}{3} \right) = \frac{76}{3} \pi \end{eqnarray} $$

EDIT: Perdón, se me olvidó cuadrar el radio a la primera, y a la segunda no lo cuadré bien >.<

El siguiente gráfico muestra la región que queremos rotar. Se puede ver más fácilmente entonces que el disco creado al girar alrededor de $x=1$ tendrá un área de $3^2 \pi - \pi$ cuando $y \in [0,2]$ y tendrá una superficie de $3^2\pi - (y-1)^2 \pi$ cuando $y \in [2,4]$ . Finalmente, para encontrar el volumen, integramos sobre todas las posibles $y$ (de $0 \to 4$ ) para sumar todas las áreas de los discos y obtener el volumen de la región.