¿Este problema de análisis que implica la inducción es defectuoso?

Question

Hace poco me pidieron que ayudara a alguien con la siguiente pregunta en su curso de análisis de primer año.

Recordemos que $\mathbb{N}$ es el conjunto de todos los enteros positivos. Utiliza el principio de inducción para demostrar que $n \ge 1$ para todos $ n \in \mathbb{N}.$ [ Sugerencia: Deja que $ S = \lbrace n \in \mathbb{N} | n \ge 1 \rbrace.$ ]

Me preocupa que la primera frase de la pregunta asuma que ya sabemos exactamente qué son los enteros positivos, lo que hace que el resto de la pregunta sea redundante.

Preferiría ver la pregunta por escrito:

Recordemos que $\mathbb{N}$ es el conjunto de $ x \in \mathbb{R}$ tal que $x$ es un miembro de cada conjunto inductivo. [ $P$ es un conjunto inductivo si (a) $ 1 \in P $ y b) $ x \in P \Rightarrow x+1 \in P.$ ] Entonces podemos responder de la siguiente manera:

Con $S$ como en la pista, por definición $ S \subseteq \mathbb{N}.$

$1 \in S$ desde $1 \in \mathbb{N},$ ya que es un conjunto inductivo. Para $ n \in S, $ $n+1 > n \ge 1,$ por lo tanto $n+1 \in S.$ Por lo tanto, $S$ es un conjunto inductivo, por lo que $ \mathbb{N} \subseteq S.$ Por lo tanto, $ S=\mathbb{N}.$ Por lo tanto, $1$ es el menor elemento de $\mathbb{N}.$

¿Estoy siendo demasiado exigente, o la pregunta es errónea tal como está?

Answer 1

Estoy de acuerdo en que si definimos $\mathbb{N}$ como un "conjunto de enteros positivos", la pregunta es redundante. Sin embargo, si decimos que $\mathbb{N}$ es un conjunto de números naturales (y, después de todo, eso es exactamente lo que $\mathbb{N}$ ), definido por los axiomas de Peano, entonces la pregunta ya no es redundante.

Como nota al margen, llamar a $\mathbb{N}$ un "conjunto de enteros positivos" es, en mi opinión, un mal estilo. Por desgracia, no existe una convención estándar para "conjunto de enteros positivos". Muchos libros utilizan $\mathbb{Z}^{+}$ para eso, sin embargo al menos un libro que conozco utiliza $\mathbb{Z}^{+}$ para "grupo de enteros bajo la adición regular". Puede ser $\mathbb{Z}_{+}$ es mejor (?)

Answer 2

Interpreto que la pregunta pide una prueba (por inducción) de que no hay números enteros estrictamente entre cero y uno. Estoy de acuerdo con los que señalan que la forma de demostrarlo depende de cómo se hayan definido los números enteros. Recuerdo que la pregunta estaba en un problema del programa Ross (un programa de verano de matemáticas para estudiantes de secundaria, celebrado en la Universidad Estatal de Ohio) alrededor de 1967. No recuerdo la definición de entero que se utilizaba en el programa, pero creo recordar que la solución era algo así: si hay algún entero entre 0 y 1, entonces por ordenación hay uno más pequeño, llámalo $p$ entonces $p^2$ es un número entero positivo más pequeño entre 0 y 1, contradicción, por lo tanto no hay ningún número entero entre 0 y 1.

OK, así que utiliza el ordenamiento en lugar de la inducción.

Dentro del marco lógico apropiado, se puede ir en la dirección contraria, y utilizar la inexistencia de enteros entre cero y uno para establecer la corrección de la Inducción Matemática (o del buen ordenamiento).

La inexistencia de enteros entre el cero y el uno es la observación crítica en muchas pruebas de irracionalidad y trascendencia. De hecho, en Burger y Tubbs, Making Transcendence Transparent (página 9), se menciona como El principio fundamental de la teoría de los números.