Una generalización de la afirmación de Perron-Frobenius sobre $\lim _{{k\rightarrow \infty }}A^{k}$ .

Question

Dejemos que $A=(a_{ij})$ ser un $n\times n$ matriz positiva: $ a_{{ij}}>0$ para $1\leq i,j\leq n$ . Según la declaración de Teorema de Perron-Frobenius una de las reivindicaciones es $$\lim _{{k\rightarrow \infty }}A^{k}/r^{k}=vw^{T}\,,\quad \tag{1}$$ donde los vectores propios izquierdo y derecho de A están normalizados de manera que $w^Tv = 1$ . El número real positivo $r$ se denomina raíz de Perron.

La pregunta es la siguiente. Ecuación $(1)$ puede utilizarse para calcular $\lim _{{k\rightarrow \infty }}A^{k}$ . Sea $\{A^{(k)}\}_{k=1}^\infty$ sea una secuencia de $n\times n$ matrices positivas; es decir, $A^{(k)}=(a^{(k)}_{ij})$ tal que $a^{(k)}_{{ij}}>0$ para $1\leq i,j\leq n$ , $\forall k=1,2,\dots$ . Me pregunto si existe una generalización de la afirmación de Perron-Frobenius sobre $\lim _{{k\rightarrow \infty }}A^{k}$ de la siguiente manera: $$\lim _{{k\rightarrow \infty }}\, \prod_{h=1}^k A^{(h)}=?$$ Tenga en cuenta que si $A^{(h)}=\dots=A^{(2)}=A^{(1)}=A$ , $\forall h$ , volvemos a obtener la afirmación de Perron-Frobenius sobre $\lim _{{k\rightarrow \infty }}A^{k}$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

No sin hipótesis. Dejemos que $M$ sea una matriz con todas las entradas positivas. Entonces también lo es $A^{(h)} = \exp ( c_h M)$ , donde $c_h>0$ y $\exp(T)$ denota la matriz exponencial $$\exp(T) = e^T = \sum_{n\ge0} T^n/n!$$ El hecho que utilizamos sobre la matriz exponencial es que $\exp((t+u)M)=\exp(tM)\exp(uM)$ . Ahora elija el $c_n$ tal que $\lim_{k\to\infty} \sum_{h=1}^k c_h = c<\infty$ . (Como por ejemplo $c_n=2^{-n}$ ). Entonces $$\prod_{h=1}^k A^{(h)} = e^{\sum_{h=1}^k c_h M} $$ que converge a $\exp( cM)$ como $k\to\infty$ . Esta matriz límite tiene rango completo, y por lo tanto no es de la forma límite de Perron-Frobenius.

El problema de este ejemplo es que las matrices factoriales individuales $A^{(h)}$ están muy cerca de la matriz identidad, y aunque todas sus entradas son positivas, están muy cerca de 0. Una forma de evitar esto es requerir todas las entradas de la matriz en todas las matrices factoriales $A^{(h)}$ para ser uniformemente acotado lejos de 0.