Dejemos que $f(x)/p(x)$ y $g(x)/q(x)$ sean funciones racionales en sus formas más simples, con $\text{deg}(f)\neq\text{deg}(g)$ y $\text{deg}(p)\neq\text{deg}(q)$ . Entonces $$\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f(x)}{p(x)}+\frac{g(x)}{q(x)}\right] \,\text{exists}\implies \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)+g(x)}{p(x)+q(x)}\,\text{exists}\,\,\,?$$
Un contraejemplo aparentemente verdadero sería $$\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x}{x^2}+\frac{1}{1-x^2}\right] =0\implies \lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{1}=\infty$$ pero $x/x^2=1/x$ no está en su forma más simple y los denominadores tienen el mismo grado.
También podríamos escribir $$\begin{align}\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)+g(x)}{p(x)+q(x)}&=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f(x)}{p(x)+q(x)}+\frac{g(x)}{p(x)+q(x)}\right]\\&=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f/p}{1+q/p}+\frac{g/q}{1+p/q}\right]\end{align}$$ y esto demostraría la afirmación si $\lim_{x\to\infty} q/p\neq0,-1$ existe.
