En $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)+g(x)}{p(x)+q(x)}$ existe si $\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f(x)}{p(x)}+\frac{g(x)}{q(x)}\right]$ ¿existe?

Question

Dejemos que $f(x)/p(x)$ y $g(x)/q(x)$ sean funciones racionales en sus formas más simples, con $\text{deg}(f)\neq\text{deg}(g)$ y $\text{deg}(p)\neq\text{deg}(q)$ . Entonces $$\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f(x)}{p(x)}+\frac{g(x)}{q(x)}\right] \,\text{exists}\implies \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)+g(x)}{p(x)+q(x)}\,\text{exists}\,\,\,?$$

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Un contraejemplo aparentemente verdadero sería $$\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x}{x^2}+\frac{1}{1-x^2}\right] =0\implies \lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{1}=\infty$$ pero $x/x^2=1/x$ no está en su forma más simple y los denominadores tienen el mismo grado.

También podríamos escribir $$\begin{align}\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)+g(x)}{p(x)+q(x)}&=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f(x)}{p(x)+q(x)}+\frac{g(x)}{p(x)+q(x)}\right]\\&=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f/p}{1+q/p}+\frac{g/q}{1+p/q}\right]\end{align}$$ y esto demostraría la afirmación si $\lim_{x\to\infty} q/p\neq0,-1$ existe.

Answer 1

Un ejemplo sería $\,\frac{x^2}{x-1} + \frac{-x}{1}\,$ que va a $\,1\,$ pero $\,\frac{x^2 - x}{x - 1 + 1} = x-1\,$ va a $\,\infty\,$ como $\,x\to\infty.$

Sin embargo, este ejemplo depende de que un numerador tenga signo inicial negativo. En restringimos a polinomios con positivo coeficiente principal, entonces $\, f/p+g/q \to L < \infty \,$ hace implican que $\,(f+g)/(p+q) \to M < \infty.\,$ Como abreviatura, dejemos $\,dp := \text{deg}(p)\,$ para cualquier polinomio $\,p\,.$ Desde $\, f/p+g/q \to L < \infty \,$ y ambos $\,f/q\,$ y $\,g/q\,$ debe converger, esto significa que $\,df \leq dp \,$ y $\,dg \leq dq.\,$ Se nos da $\,dp \neq dq\,$ por lo que asume WLOG que $\,dp >dq.\,$ Ahora se nos da $\,df \neq dg\,$ así que hay dos casos.

Caso $1$ : $\,df < dg.\,$ En $\,(f\!+\!g)/(p\!+\!q),\,$ tenemos $\,d(f\!+\!q) = dg \leq dq < dp = d(p\!+\!q).\,$ Ahora $\,(f\!+\!g)/(p\!+\!q) \! \to \!0 .\,$

Caso $2$ : $\, df > dg.\,$ Tenemos $\,d(f\!+\!q) = df \leq dp = d(p\!+\!q).\,$ Ahora $\,(f\!+\!g)/(p\!+\!q) \! \to \!M <\infty .\,$