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En limxf(x)+g(x)p(x)+q(x) existe si limx[f(x)p(x)+g(x)q(x)] ¿existe?

Dejemos que f(x)/p(x) y g(x)/q(x) sean funciones racionales en sus formas más simples, con deg(f)deg(g) y deg(p)deg(q) . Entonces limx[f(x)p(x)+g(x)q(x)]existslimxf(x)+g(x)p(x)+q(x)exists?


Un contraejemplo aparentemente verdadero sería limx[xx2+11x2]=0limxx+11= pero x/x2=1/x no está en su forma más simple y los denominadores tienen el mismo grado.

También podríamos escribir limxf(x)+g(x)p(x)+q(x)=limx[f(x)p(x)+q(x)+g(x)p(x)+q(x)]=limx[f/p1+q/p+g/q1+p/q] y esto demostraría la afirmación si limxq/p0,1 existe.

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billythekid Puntos 156

Un ejemplo sería x2x1+x1 que va a 1 pero x2xx1+1=x1 va a como x.

Sin embargo, este ejemplo depende de que un numerador tenga signo inicial negativo. En restringimos a polinomios con positivo coeficiente principal, entonces f/p+g/qL< hace implican que (f+g)/(p+q)M<. Como abreviatura, dejemos dp:=deg(p) para cualquier polinomio p. Desde f/p+g/qL< y ambos f/q y g/q debe converger, esto significa que dfdp y dgdq. Se nos da dpdq por lo que asume WLOG que dp>dq. Ahora se nos da dfdg así que hay dos casos.

Caso 1 : df<dg. En (f+g)/(p+q), tenemos d(f+q)=dgdq<dp=d(p+q). Ahora (f+g)/(p+q)0.

Caso 2 : df>dg. Tenemos d(f+q)=dfdp=d(p+q). Ahora (f+g)/(p+q)M<.

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