Hallazgo n y k que satisface ${n \choose k} = 517 $

Question

¿Cómo puedo encontrar todos los enteros n y k que satisface ${n \choose k} = 517 $ ? ¿Cómo me acerco a esta pregunta?

Answer 1

La idea es utilizar el hecho de que para cada una de las $n$, los binomios $\binom{n}{0},\ldots,\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ forma de un aumento de la secuencia. Podemos suponer que $k \leq n/2$. Si $k \geq 2$$\binom{n}{k} \geq \binom{n}{2}$, y así, desde la $\binom{33}{2} = 528$, debemos tener $n \leq 32$. Comprobación $\binom{n}{k}$ todos los $n \leq 32$, no encontramos una solución. Por lo tanto nos quedamos sólo con lo trivial, soluciones $$ \binom{517}{1} = \binom{517}{516} = 517.$$ De hecho, como Jorge Fernández correctamente menciona, ya que el primer 47 es un factor de 517, debemos tener $n \geq 47$, y así no hay que chequearlo.

Answer 2

En general, hallar el número de veces que aparece un número en el triángulo de Pascal es un problema difícil. Hay un problema abierto llamado Singmaster la conjetura que se refiere a la multiplicidad de entradas en el triángulo.

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Es claro que hay al menos dos pares: $$\binom{517}{1} \qquad \text{and} \qquad \binom{517}{516}$$

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Después de la $517^\text{th}$ fila en el triángulo de Pascal, todos los no-$1$ entrada es mayor que $517$, por lo que hay un número finito de entradas podemos comprobar, por lo que definitivamente no es que difícil de un problema. Voy a tratar de escribir algo de código para comprobar si hay otros pares.

EDIT: @YuvalFilmus di cuenta de que podemos reducir drásticamente el número de entradas que debemos revisar para soluciones no triviales a $n \leq 32$. @JorgeFernández terminado la bestia con $$47 \text{ prime, }\,\,\,47 > 32 \qquad \Rightarrow \qquad 47 \not\mid \binom{n}{k}$$

Answer 3

• ${n \choose 0}$ siempre es 1, no hay ninguna solución
• ${n \choose 1} = n$, lo que da la solución de ${517 \choose 1}$
• ${n \choose 2} = \frac{n(n-1)}{2}$, lo que lleva a la $n^2-n-1034=0$ ecuación de segundo grado, que no tiene un número entero de la solución.
• ${n \choose 3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$. Pero ${15 \choose 3}=455$, e ${16 \choose 3}=560$, por lo que no hay solución de nuevo.
• Del mismo modo, hogy ${n \choose 4}$, llegamos ${12 \choose 4}=495$${13 \choose 4}=715$.
• Para ${n \choose 5}$, ${11 \choose 5}=462$ y ${12 \choose 5}=792$. Aquí no es la solución, también.
• Para ${n \choose 6}$, ${11 \choose 6}=462$ (tal como se dijo anteriormente), sino ${12 \choose 6}=924$.
• A partir de este punto, si hemos encontrado una solución a ${n \choose k}$, teníamos que encontrar antes. (Por qué?)

Por lo tanto las únicas soluciones son ${517 \choose 1}$${517 \choose 516}$.