La serie de Taylor para el logaritmo converge hacia el logaritmo

Question

¿Hay alguna manera de demostrar que la serie de Taylor alrededor de 0 de $f(x) = \ln(1-x)$ converge hacia $f$ en el intervalo $(-1,1)$ ¿Sólo considerando el resto del polinomio de Taylor? Estoy teniendo un pequeño problema con esto.

La serie es

$ T_n(x) = - \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k}$

La convergencia en $(-1,0]$ no es un problema, pero en $[0,1)$ las cosas empiezan a complicarse un poco. Dejemos que $0<x<1$ . entonces $|f^{(n+1)}(t)| = \frac{n!}{(1-t)^{n+1}} \leq \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ para todos $t \in [0,x]$ . La forma de Lagrange del resto nos dice entonces que

$|R_n(x)| \leq \frac{n!}{(1-x)^{n+1} (n+1)!}x^{n+1} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{x}{1-x} \right)^n$

Pero si $x > 1/2$ esto va hasta el infinito. He intentado utilizar también la forma integral del resto, pero sin suerte.

Utilizando la maquinaria de las series de potencias, es fácil demostrar la convergencia. Pero, ¿hay alguna manera de utilizar sólo la teoría sobre los polinomios de Taylor?

Answer 1

La única prueba de esto que conozco utiliza el Forma de Cauchy del resto . Si $f^{(n+1)}(x)$ existe para todos los $x$ entre $0$ y $h$ y es continua en esta región $^\dagger$ entonces se puede demostrar que esta forma del resto se cumple utilizando la forma integral del resto: $$R_{n+1}(x)= {1\over n!} \int_0^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n\,dt $$ y aplicando el Segundo teorema del valor medio de las integrales a esta expresión (con $g(t)=1$ ).

Así pues, utilicemos la forma Cauchy del resto para demostrar que la serie de Taylor (Maclaurin) de $\ln(1+x)$ converge a $\ln(1+x)$ para $-1<x<0$ :

Dejemos que $f(x)=\ln(1+x)$ . Utilizando la forma de Cauchy del resto, se tiene $$ \ln(1+x) =x-{x^2\over2}+\cdots+{(-1)^{n-1} x^n\over n} + R_{n+1}(x), $$ donde $$ R_{n+1}(x)={f^{(n+1)}(c)\over n!}(x-c)^n x $$ para algunos $c$ entre $0$ y $x$ . Podemos escribir $$ R_{n+1}(x)= {f^{(n+1)}(\theta x)\over n!}(1-\theta)^n x^{n+1} $$ para algunos $0\le\theta\le1$ .

Evaluando la derivada requerida, tenemos $$ R_{n+1}(x)=(-1)^n{x^{n+1}(1-\theta)^n\over (1+\theta x)^{n+1}}. $$

Ahora, para $-1<x<0$ , tenga en cuenta que $$ 1+\theta x\ge 1+x $$ y $$ 0\le{1-\theta\over 1+\theta x}\le 1; $$ de donde $$ | R_{n+1}(x)| =\biggl|{x^{n+1}(1-\theta)^n\over (1+\theta x)^{n+1}} \biggr| =\biggl|{1-\theta\over 1+\theta x} \biggr|^n \cdot{|x|^{n+1}\over |1+\theta x|^n} \le{|x|^{n+1}\over 1+x}\ \buildrel{n\rightarrow\infty}\over\longrightarrow\ 0. $$

$^\dagger$ La continuidad de $f^{(n+1)}$ no es necesario aquí; pero en este caso, se requiere una prueba diferente.