Ecuación de la función de densidad de probabilidad, cálculo multivariable

Question

Tengo el siguiente problema:

La fórmula de la distribución normal tiene una π. En esta versión simplificada de la función de densidad de probabilidad normal, resuelve C. La respuesta correcta tiene π.

$$ 1 = C\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dydx $$

¿Puede alguien decirme cómo resolver este problema? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Podrías hacer toda la integración, como se ha señalado en los comentarios. Sin embargo, es posible que te hayan dado como un hecho, o demostrado en clase que $$\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}\,dt = \sqrt\pi.$$ Por lo tanto, utiliza este hecho dos veces: \begin {align*} \int_ {- \infty }^ \infty\int_ {- \infty }^ \infty e^{-(x^2+y^2)}\Ndx &= \int_ {- \infty }^ \infty e^{-x^2} \left [ \int_ {- \infty }^ \infty e^{-y^2},dy \right dx \\ &= \sqrt\pi\int_ {- \infty }^ \infty e^{-x^2}\\N- dx \\ &= \sqrt\pi\cdot\sqrt\pi\\ &= \pi. \end {align*} Esto implica que $C = 1/\pi$ .

Por supuesto, esta respuesta no es válida, si no se le permite utilizar ese hecho.