¿Prueba de la integral de Stratonovich?

Question

Cálculo de la integral $\int \Phi(x_t,t)dx_t$ escribiendo la ecuación en la forma podemos escribir la integral como el límite cuadrático medio

$$\int \Phi(x_t,t)dx_t=\lim_{\Delta \to 0} \sum^{j=1}_{N-1} [\Phi((\frac {x(t_j)+x(t_{j+1})}{2},t_j)][x(t_j+1)-x(t_j)]\ \ \ \ \ \ .\ (3)$$

y en la forma de Ito como $$\int \Phi(x_t,t)dx_t=\lim_{\Delta \to 0} \sum^{j=1}_{N-1} [\Phi x(t_j),t_j][x(t_j+1)-x(t_j)] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .\ (4)$$ Demostremos la existencia del límite en $(3)$ y encuentra la fórmula que relaciona las dos integrales indicadas. Para ello seleccionamos la $\Delta$ partición y considerar la diferencia entre las expresiones límite en los lados derechos de $(3)$ y $(4)$ . Haciendo uso de la diferenciabilidad con respecto a $x$ de la función $\Phi(x_t, t)$ obtenemos

$$D_{\Delta}=\sum^{j=1}_{N-1} [\Phi((\frac {x(t_j)+x(t_{j+1})}{2}),t_j-\Phi(x(t_j),t_j][x(t_{j+1})-x(t_j)] \ \ \ \ \ \ .(5)$$ $$= \frac{1}{2} \sum ^{N-1}_{j=1} \frac {\partial \Phi}{\partial x}[(1-\theta)x(t_j)+\theta x(t_{j+1}),t_j)][x(t_{j+1})-x(t_j)]^2 ,0\le \theta \le 1/2,t_j=t_j^{\Delta}. $$ mi pregunta es cómo proceder después de $(5)$ como viene esta ecuación final.

Answer 1

Si $x \mapsto \Phi(x,t)$ es diferenciable, se deduce de la fórmula de Taylor que

$$\Phi(x,t) = \Phi(y,t) + (x-y) \frac{\partial}{\partial x} \Phi(\zeta,t)$$

para algún punto intermedio $\zeta$ entre $x$ y $y$ (es decir, podemos encontrar $\lambda \in (0,1)$ tal que $\zeta = \lambda x+ (1-\lambda) y$ ). Utilizando esta identidad para

$$x :=\frac{x(t_j)+x(t_{j+1})}{2} \qquad y := x(t_j) \qquad t = t_j$$

encontramos

$$\Phi \left( \frac{x(t_j)+x(t_{j+1})}{2}, t_j \right) = \Phi(x(t_j),t_j)+ \frac{x(t_{j+1})-x(t_j)}{2} \frac{\partial}{\partial x} \Phi(\zeta,t_j) \tag{1}$$

con

$$\zeta = \lambda x(t_j)+ (1-\lambda) \frac{x(t_j)+x(t_{j-1})}{2} \tag{2} $$

para algunos $\lambda \in (0,1)$ . Tenga en cuenta que $(2)$ equivale a

$$\begin{align*} \zeta &= x(t_j) \left[ \frac{2\lambda}{2} + \frac{(1-\lambda)}{2} \right] + \underbrace{\frac{1-\lambda}{2}}_{=:\theta} x(t_{j+1}) \\ &= x(t_j)(1-\theta) + \theta x(t_{j+1}) \end{align*}$$

para algunos $\theta \in (0,1/2)$ . Por lo tanto, por $(1)$ ,

$$\Phi \left( \frac{x(t_j)+x(t_{j+1})}{2}, t_j \right) -\Phi(x(t_j),t_j)= \frac{x(t_{j+1})-x(t_j)}{2} \frac{\partial}{\partial x} \Phi ( x(t_j)(1-\theta) + \theta x(t_{j+1}), t_j).$$

Multiplicando esta expresión por $x(t_{j+1})-x(t_j)$ y sumando sobre $j=1,\ldots,N-1$ produce la identidad que está buscando. (Tenga en cuenta que $\theta = \theta(j)$ no podemos esperar encontrar una $\theta$ que funciona para todos $j=1,\ldots,N-1$ ).