¿Cómo puedo encontrar la temperatura media dada una distribución de temperaturas?

Question

Me dijeron que encontrara la distribución de la temperatura de un cable por el que pasa una corriente. Así que encontré $$T(x)=T_{\infty}-\frac{\dot{q}}{km^{2}}[\frac{cosh(mx)}{cosh(mL)}-1]$$

Necesito encontrar la temperatura media en el cable utilizando esta fórmula. Sé que tengo que usar alguna integral pero no recuerdo la fórmula. Si alguien pudiera darme la fórmula, probablemente podría integrarla yo mismo.

Answer 1

La media de cualquier cantidad $s$ es $\frac{\sum\limits_{r=0}^ns_r}{n}$ . Si la distribución es continua, digamos que en función de x, entonces se convierte en $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{r=0}^ns_r}{n}$ . Esto se puede reescribir como $\frac{\int s(x)dx}{\int dx}$ tomando los límites como la longitud del cable. En su fórmula, no veo ninguna $x$ término en el RHS, ni nada que pueda depender de x, así que no veo cómo podemos proceder. Por favor, especifique lo que es constante y lo que es una función de x.

Así que la fórmula final es $$\frac{\int T(x)dx}{\int dx}$$

Si su cable es infinito, es posible que tenga que tomar los límites 0 a y, y luego limitar la expresión para el promedio como $y\to\infty$ .

Actualización: con la fórmula actualizada, suponiendo que el cable abarca desde x=0 hasta x=L, $$\langle T\rangle=T_\infty- \frac{\dot{q}}{km^2}\left(\frac{\tanh(mL)}{mL}-1\right)$$ Si el cable abarca de 0 a y, $$\langle T\rangle=T_\infty- \frac{\dot{q}}{km^2}\left(\frac{\sinh(my)}{my\cosh(my)}-1\right)$$ . Limitar y al infinito nos da una respuesta infinita. Así que asumo que lo he interpretado correctamente en mi respuesta anterior.