Que el mapa $\varphi:\mathcal{H}\to\overline{\mathcal{H}}$ de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ en su complejo conjugado $\overline{\mathcal{H}}$ sea antilineal. Entonces $$\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)\hspace{0.2cm}\text{and}\hspace{0.2cm}\varphi(\alpha x)=\overline{\alpha}\varphi(x)$$ para todos $x,y\in\mathcal{H}$ . Este mapa es también un homomorfismo entre $(\mathcal{H},\cdot)$ y $(\overline{\mathcal{H}},*)$ donde $\alpha *x=\overline{\alpha}\cdot x$ . A continuación, defina el mapa $\psi:\overline{\mathcal{H}}\to\mathcal{H}$ por $\psi(x):=\varphi^{-1}(x)$ para todos $x\in\overline{\mathcal{H}}$ . Entonces $\psi$ es también un mapa antilineal ya que $$\psi(x+y)=\varphi^{-1}(x+y)=\varphi^{-1}(\varphi(x')+\varphi(y'))=\varphi^{-1}(\varphi(x'+y'))=x'+y'$$ donde utilizamos la antilinealidad de $\varphi$ . Pero $$x'+y'=\varphi^{-1}\varphi(x')+\varphi^{-1}\varphi(y')=\varphi^{-1}(x)+\varphi^{-1}(y)=\psi(x)+\psi(y)$$ por lo que $$\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$$ Del mismo modo tenemos para la segunda propiedad $$\psi(\alpha*x)=\varphi^{-1}(\alpha*x)=\varphi^{-1}(\overline{\alpha}\cdot x)=\varphi^{-1}(\varphi(\alpha\cdot x))=\alpha\cdot x$$ así $\psi$ es también un homomorfismo. Por lo tanto, cualquier mapa antilineal $\varphi$ es un isomorfismo entre las estructuras algebraicas $(\mathcal{H},\cdot)$ y $(\overline{\mathcal{H}},*)$ . Por tanto, deben ser isomorfos también como espacios vectoriales, ya que los espacios vectoriales son estructuras algebraicas en sí mismas.
