Utilizar una única ecuación escalar para describir una línea en el espacio

Question

Una línea en un espacio tridimensional puede describirse como una intesección de dos planos, por ejemplo: $$\begin{align}x+y+z=0\tag{1}\\3x+7y=1\tag{2}\end{align}$$ Esto puede entenderse como dos ecuaciones escalares separadas o como una única ecuación matricial. (También se puede describir una línea de forma paramétrica).

Esto plantea una pregunta: ¿es posible expresar la misma línea utilizando una sola ecuación escalar? Resulta que sí. La ecuación $$x^2+y^2=0\tag{3}$$ puede entenderse como la descripción del conjunto de todos los puntos $(x,y,z)\in\Bbb R^3$ para lo cual $x=0$ y $y=0$ . En otras palabras, describe la $z$ -eje.

Así, hemos descrito una línea en $\Bbb R^3$ utilizando una única ecuación escalar. Pero esto significa que cualquier línea en $\Bbb R^3$ (o $\Bbb R^n$ para el caso) puede ser descrita por una sola ecuación escalar, simplemente utilizando una transformación afín apropiada en la ecuación $(3)$ .

Como señala Pantelis Damianou en el comentario siguiente, esto nos da la ecuación $$(x+y+z)^2+(3x+7y-1)^2=0$$ en el caso descrito anteriormente. Nótese que esto nos dice exactamente lo mismo que las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ ya que $z^2+w^2=0$ es sólo otra forma de decir que $z=0$ y $w=0$ .

Mi pregunta es:

¿Es útil este punto de vista? ¿Tiene alguna aplicación llamativa? ¿Existe algún área de las matemáticas que utilice estas ecuaciones de forma fructífera?

Gracias.

Answer 1

Un conjunto de $D$ de los números naturales es Diofantino si existe un polinomio $P(y,x_1,\dots,x_n)$ tal que para todos los números naturales $y$ , $$y\in D \quad \text{iff} \quad \exists x_1 \cdots\exists x_n(P(y,x_1,\dots,x_n)=0).$$ Aquí, por tradición, el $x_i$ rango sobre los números naturales, que se definen para incluir $0$ .

Su observación demuestra que la intersección de un número finito de conjuntos diofánticos es diofántica. Este es un paso útil, aunque menor, para demostrar que todo conjunto recursivamente enumerable es diofantino, lo que resuelve el décimo problema de Hilbert.

La misma idea puede utilizarse para demostrar que, de hecho, no existe ningún algoritmo para determinar si una ecuación diofantina cuádruple (en muchas variables) tiene solución. La idea, a grandes rasgos, es reducir una ecuación diofantina arbitraria a una sistema de ecuaciones cuadráticas, y luego utilizar el truco de la suma de cuadrados para obtener una única ecuación cuártica.

El truco de la suma de cuadrados tiene un papel menor pero útil en algunas pruebas del Teorema de Incompletitud de Gödel, cuando estamos mostrando que todo predicado recursivo es representable en una versión bastante débil de la teoría formal de los números.

Answer 2

De forma más general, podemos "empaquetar" cualquier sistema finito de ecuaciones (sobre los reales) como una única ecuación que implica una suma de cuadrados. Si queremos una solución aproximada del sistema de ecuaciones, podemos intentar minimizar esa suma de cuadrados: éste es el punto de partida de la aproximación por mínimos cuadrados, muy útil en el análisis de datos.