Pregunta sobre la densidad en la topología $\mathcal{T}:= \{\emptyset\}\cup\{A \mid |X \setminus A| \leq |\mathbb{N}|\}$

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto incontable dotado de la topología $\mathcal{T}:= \{\emptyset\}\cup\{A \mid |X \setminus A| \leq |\mathbb{N}|\}$ . Sea $A \subseteq X$ incontable. Demuestre que $A$ es denso en $X$ .

Mi intento :

Dejemos que $x \in X$ y supongamos que existe una vecindad $V$ de $x$ tal que $A \cap V = \emptyset$ . Sea $G \in \mathcal{T}$ con $x \in G \subseteq V$ . Esto significa que $X \setminus G$ es a lo sumo contable, y por lo tanto $X \setminus V$ también. ¿Cómo encontrar una contradicción? A partir de este punto, también sé que $X = X \setminus A \cup X \setminus V$

Answer 1

Si $A \cap V = \varnothing$ entonces $A \subseteq X \setminus V$ .
Esto no puede ser si $A$ es incontable y $X \setminus V$ es contable.