Demostrando que $\frac{\pi ^2}{p}\neq \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_{n}^2}$

Question

tenemos muchas fórmula para $\pi ^2$ seguir $$\frac{\pi ^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}....$$ y $$\frac{\pi ^2}{8}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}....$$ and for $\frac{\pi ^2}{9}$, $\frac{\pi ^2}{12}$, $\frac{\pi ^2}{16}$,$\frac{\pi ^2}{24}$.. y así sucesivamente. Si puede ver el número en el denominador no es primo.Ahora queremos demostrar que $$\frac{\pi ^2}{p}\neq \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_{n}^2}$$ Where $p$ is a prime number and $a_{n}$ un número entero positivo

Answer 1

Si usted no quiere poner ningún tipo de restricciones en el $a_n$, no hay ningún número de la teoría de aquí, sólo análisis. Si me pueden citar, a partir de mi respuesta anterior:

Teorema: Vamos a $\sum_k s_k$ ser convergente suma de números positivos, decir $S=\sum_k s_k$. Supongamos que, para todos los $n$,$s_n < \sum_{k=n+1}^\infty s_k$. Luego hay una larga de $s_k$ cuya suma converge a $x$ positivos $x < S$.

Intuitivamente, decir que estamos tratando de construir una larga. La suma es convergente, por lo que sus términos deben convertirse arbitrariamente pequeño y por lo tanto nos permiten aproximarnos a $x$ arbitrariamente cerca. La única cosa que puede salir mal es que, en algún punto, todos los términos que nos han dejado no son lo suficientemente grandes para que lleguemos a $x$. La condición de $s_n < \sum_{k=n+1}^\infty s_k$ asegura que, cada vez que esto ocurra, tendremos espacio para utilizar el anterior plazo $s_n$ sin exceder $x$, y así que la única manera de que no podamos llegar a $x$ es que si ya estábamos utilizando todos los anteriores términos (es decir, $x>S$).

La serie $\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{n^2}$ satisface las hipótesis de este teorema, y así podemos escribir cualquier número menor que $\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-1$ como una suma de los recíprocos de las distintas plazas (con $a_1>1$). Del mismo modo, si $1 < x < \frac{\pi^2}{6}$, podemos escribir $x-1$ como una suma de los recíprocos de las distintas plazas, y, a continuación, tirar en un $1$ a principios de conseguir una representación de $x$ ($a_1=1$).

En particular, si $p$ es primo, $\frac{\pi^2}{p}$ puede ser escrita en la forma que desee, a menos que $p \in \{2,3,5,11,13\}$. Pero eso no tiene nada que ver con su primalidad: se trata de que el tamaño total de $\frac{\pi^2}{p}$.

Lo interesante de la teoría de números que sucede cuando se ponen más condiciones en el $a_n$, tales como la necesidad de que sean en progresión aritmética...

Answer 2

Me encontré con el algoritmo voraz de la pregunta anterior para los primeros 1000 números primos con la salvedad de que los términos de la secuencia tiene que ser distinta. Parece que su declaración es cierto sólo para los números primos 2, 3, 5, 11, 13 y false para el resto! Yo sólo he utilizado 40 términos en el algoritmo para cada uno de los números primos. Para aquellos que trabajan, la precisión es bastante buena (cientos de dígitos para el mayor de los números primos). Por ejemplo, si $A_p$ es sinónimo de los términos para el primer p entonces

$$A_7 = \{1, 2, 3, 5, 11, 42, 991, 59880, 21165404, 81090759408,\ldots \}$$

y si $S_p(n)$ representa la suma parcial que hemos

$$S_7(10) = \frac{9409086091684410250487330038662170074145032522104397}{66733781786148561048500788381308231 67971682291718400} $$

con

$$\frac{\pi^2}{7}- S_7(10) \approx 3.0292 \cdot 10^{-34}$$

EDIT: me encontré con el algoritmo de nuevo, pero esta vez con los enteros de 1 a 100, porque yo sospechaba que el problema no es solo con los números primos a sí mismos. El algoritmo no pudo convergen dentro de los 15 términos de los números

$$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$$

El algoritmo está fuera de estos enteros. Estoy dispuesto a conjeturar que para cada entero $k\notin E$ existe una secuencia de enteros positivos $a_{n,k}$ tal que

$$\frac{\pi^2}{k} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{a_{n,k}^2}$$