Dificultad para entender el siguiente pasaje del libro Teoría inversa de Galois de G. Malle

Question

Estoy leyendo Teoría de Galois inversa de Malle y Matzat por mi cuenta.

Mientras leía, me encontré con lo siguiente. He estudiado Álgebra Conmutativa y Teoría de Galois, pero nunca he visto esta terminología. ¿Podría explicarme a qué se refiere?

Precisamente, ¿qué quiere decir con "divisores primos del campo de funciones", "ideales de valoración", "ramificados sólo en los divisores primos"?

Gracias de antemano.

Answer 1

Uno de los puntos principales de la geometría algebraica es un tipo de "dualidad" entre espacios y anillos de funciones. Bajo esta dualidad, todo espacio tiene localmente un anillo de funciones (por ejemplo, el anillo de funciones de $\text{Spec }A$ es sólo $A$ ), y un punto de $\text{Spec }A$ corresponde a un ideal primo de $A$ .

Si $A$ es un dominio integral, entonces dejemos que $K$ sea su campo de fracción. Por ejemplo, $A = k[x]$ y $K = k(x)$ . Así, $K$ es el (campo de residuos del) "punto genérico" de $A$ y aunque en cierto sentido $K$ no te dice lo que $A$ es - por ejemplo, $K$ es también el campo de la fracción de $k[x,x^{-1}]$ o incluso $k[x^{-1}]$ . Sin embargo, en cierto sentido esto se debe a que $\text{Spec }A$ no es el cuadro completo. De hecho, desde $K$ se puede recuperar $\mathbb{P}^1_k$ dentro de la cual $\text{Spec }A,\text{Spec }k[x,x^{-1}],\text{Spec }k[x^{-1}]$ todos sentados.

¿Cómo lo hacemos? Bueno, esto se explica en el I.6 de la obra de Hartshorne Geometría algebraica . En esencia, el procedimiento es el siguiente: Dado un campo algebraicamente cerrado $k$ y una extensión finitamente generada $K/k$ de grado de trascendencia 1, sea $C_K$ sea el conjunto de todos los subrubros de valoración discreta de $K$ . Este conjunto $C_K$ se llama "curva abstracta no singular", y se puede poner una estructura de esquema en $C_K$ para realizarla como una curva algebraica propia cuyo campo de funciones es $K$ .

Adjunto a cada subring de valoración discreta $O\in C_K$ es una valoración correspondiente en $v_O : K\rightarrow\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ que puede convertirse en un valor absoluto $|x|_O := 2^{-v_D(x)}$ (o utilizando cualquier número real $>1$ en lugar de 2). Para un campo de este tipo $K$ los valores absolutos $\{|\cdot|_O : O\in C_K\}$ son un conjunto completo de valores absolutos no equivalentes entre sí en $K$ donde dos valores absolutos son equivalentes si y sólo si definen la misma topología métrica en $K$ .

De todos modos, en este punto puedes tener una idea de lo que quiere decir.

Su $\mathbb{P}(K/\mathbb{C})$ es sólo la "curva abstracta no singular" $C_K$ - nótese que para especificar un subring de valoración discreta de $K$ es equivalente a especificar su ideal máximo como un subconjunto de $K$ . Supongo que un divisor primo de un campo de funciones $K$ es sólo un divisor primo en la correspondiente curva no singular $C_K$ , es decir, un punto cerrado de $C_K$ o, de forma equivalente, un subring de valoración discreta de $K$ . Los ideales de valoración de $K$ deben ser sólo los ideales máximos de los subrinos de valoración discreta.

Además, debo decir que existe una equivalencia de categorías entre la categoría de curvas no singulares sobre $k$ y morfismos finitos (sobre $k$ ), y extensiones de trascendencia finitamente generadas de grado 1 $K$ de $k$ y las inclusiones de campos que inducen la identidad en $k$ . El functor va del primero al segundo tomando "campos de función".

En este punto, se puede pensar en la ramificación a lo largo de divisores primos en términos de ramificación de curvas a lo largo de puntos (cerrados).

Si has visto algo de teoría de números, la ramificación también puede entenderse en términos de campos. Por ejemplo, dado un mapa de curvas $f : X\rightarrow Y$ ramificado por encima de un punto $y\in Y$ , dejemos que $x\in f^{-1}(y)$ y que $K_X,K_Y$ sean los campos de funciones de $X,Y$ entonces $x,y$ corresponden a subredes de valoración discreta $O_x,O_y$ de $K_X,K_Y$ definiendo los valores absolutos $|\cdot|_x,|\cdot|_y$ en $K_X,K_Y$ . Sea $\hat{O}_x,\hat{O}_y$ denotan la finalización de $O_x,O_y$ con respecto a sus ideales máximos, y que $K_x := \text{Frac }\hat{O}_x$ y $K_y := \text{Frac }\hat{O}_y$ . Entonces, $K_x,K_y$ contienen $K_X,K_Y$ y puede identificarse con la realización de $K_X,K_Y$ como espacios métricos respecto a los valores absolutos $|\cdot|_x,|\cdot|_y$ (las terminaciones resultantes heredan naturalmente la estructura de un campo). $K_x,K_y$ se llaman campos locales en $x$ o $y$ . El hecho de que $f(x) = y$ implica que tenemos un homomorfismo local de anillo $O_y\rightarrow O_x$ , por lo que un mapa $\hat{O}_y\rightarrow\hat{O}_x$ de ahí una extensión de campo $K_x/K_y$ . En este caso, podemos escalar el valor absoluto $|\cdot|_x$ en $K_x$ para que se convierta en una extensión de $|\cdot|_y$ y podemos decir que la extensión es sin clasificar (es decir, en $x$ o superior $y$ ) si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. El ideal máximo $m_y$ de $O_y$ genera el ideal máximo de $O_x$ .
2. El valor absoluto $|\cdot|_x$ tiene la misma imagen que su restricción a $K_y$ .