¿Puede alguien encontrar el error en mi prueba de que si X es compacto entonces es un colector?

Question

Entonces, la pregunta es $X$ sea un espacio Hausdorff tal que cada punto de X tiene una vecindad que es homeomorfa con un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{m}$ . Demuestre que si $X$ es compacto, entonces $X$ es un $m$ -manifold. Es del libro de Topología de Munkres (sección 36). Aquí está mi prueba defectuosa (pero no puedo ver dónde está mi error)

Prueba: Sea $U$ sea un conjunto abierto de $X$ . Dejemos que $x$ (donde $x \in U$ ) y que $V$ sea la vecindad de $x$ que es homeomorfo a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{m}$ . Por lo tanto, consideramos $W = U \cap V$ . Se trata de un conjunto abierto en $V$ por lo que es homeomorfo a un subconjunto abierto P de $\mathbb{R}^{m}$ . Sea f el homeomorfismo. Ya que, $\mathbb{R}^{m}$ es segundo contable, existe un elemento base $B$ tal que $f(x) \in B \subset P$ . Así que, $x\in f^{-1}(B) \subset W \subset U$ . $f^{-1}(B)$ es obviamente abierto por continuidad. Ya que, $\mathbb{R}^{m}$ es segundo contable, si repetimos este procedimiento para cada conjunto abierto $U$ de $X$ la colección $f^{-1}(B)$ también va a ser contable y es una base. Por lo tanto, X es el segundo contable y un colector. $\hspace{70mm}$ $\square$

Sé que mi prueba es errónea porque no he utilizado la condición de compacidad en absoluto. ¿Podría alguien indicarme dónde se equivoca exactamente mi prueba y quizás también dar una pista hacia una prueba correcta?

Answer 1

Por compacidad se obtiene una cubierta abierta finita $U_1,\ldots, U_k$ de $X$ de manera que cada $U_i$ es homeomorfo a un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ . Así, para cada $U_i$ se obtiene una familia contable $\mathcal B_i$ de la apertura $B_{i,n} \subset U_i$ tal que cada subconjunto abierto de $U_i$ es una unión de elementos de $\mathcal B_i$ . Sea $\mathcal B = \bigcup_{i=1}^k \mathcal B_i$ . Este es un conjunto contable y es una base para $X$ . Para ver eso, dejemos $V \subset X$ estar abierto. Entonces el $V_i = V \cap U_i$ son subconjuntos abiertos de $U_i$ y su unon es $V$ . Cada $V_i$ es una unión de elementos de $\mathcal B_i$ Por lo tanto $V$ es una unión de elementos de $\mathcal B$ .

Observación: Bastaría con suponer que cada tapa abierta de $X$ tiene una subcubierta contable. Tales espacios $X$ se conocen a Lindelöf .