Dejemos que $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ sea un vector variable

Question

Dejemos que $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ sea un vector variable tal que $\vec{r}.\hat{i},\vec{r}.\hat{j}$ y $\vec{r}.\hat{k}$ sean enteros positivos.Si $\vec{r}.\hat{j}\geq3$ y $\vec{r}.\vec{a}\leq12$ entonces el número total de posibles $\vec{r}$ es igual a
$(A)\binom{10}{3} \hspace{1cm}(B)\binom{11}{3}\hspace{1cm}(C)\binom{13}{4}\hspace{1cm}(D)\binom{13}{9}$

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Como $\vec{r}.\hat{i},\vec{r}.\hat{j}$ y $\vec{r}.\hat{k}$ sean enteros positivos, por lo que $x>0,y>0,z>0$ .también $\vec{r}.\hat{j}\geq3$ Así que $y\geq3$
Y $\vec{r}.\vec{a}\leq12$ significa $x+y+z\leq 12$
Ahora estoy atascado en cómo resolver más allá.No soy capaz de aplicar la regla de las estrellas y las barras aquí.La respuesta dada en el libro es $\binom{10}{3}.$ No sé cómo.
Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

Tenemos $x\ge1$ , $y\ge3$ y $z\ge1$ . Entonces nuestra inecuación es equivalente a $a+b+c\le7$ donde $a,b,c$ son enteros no negativos.

Ahora bien, si la suma $a+b+c$ es menor que 7, entonces algo sumado debe ser igual a 7. Así que introducimos una variable entera "ficticia $d\ge0$ tal que $$a+b+c+d=7$$

El número de soluciones de esa ecuación es claramente $\binom{10}{3}$