Mi trabajo: $$\sum_{n=3}^\infty \frac{2^n-1}{3^n}$$ $$a_1 = \frac{2^3-1}{3^3}$$ $$a_1 = \frac{7}{27}, r=\frac{2}{3}$$ $$S_N=\frac{\frac{7}{27}}{1-\frac{2}{3}} = \frac{7}{9}$$
La respuesta correcta es $\frac{5}{6}$
Mi trabajo: $$\sum_{n=3}^\infty \frac{2^n-1}{3^n}$$ $$a_1 = \frac{2^3-1}{3^3}$$ $$a_1 = \frac{7}{27}, r=\frac{2}{3}$$ $$S_N=\frac{\frac{7}{27}}{1-\frac{2}{3}} = \frac{7}{9}$$
La respuesta correcta es $\frac{5}{6}$
Estrictamente para la diversión, tenga en cuenta que
$$2^n-1=(2-1)(2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots+2^{n-n})=\sum_{k=1}^n{2^n\over2^k}$$
para que
$$\sum_{n=1}^\infty{2^n-1\over3^n}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n\left(2\over3\right)^n{1\over2^k}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty{1\over2^k}\left(2\over3\right)^n=\sum_{k=1}^\infty{1\over2^k}{(2/3)^k\over1-(2/3)}=3\sum_{k=1}^\infty\left(1\over3\right)^k=3{1/3\over1-1/3}={3\over2}$$
y por lo tanto
$$\sum_{n=3}^\infty{2^n-1\over3^n}=\left(\sum_{n=1}^\infty{2^n-1\over3^n}\right)-\left(2^1-1\over3^1\right)-\left(2^2-1\over3^2\right)={3\over2}-{1\over3}-{1\over3}={5\over6}$$
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