Tengo una pregunta bastante difícil en mi tarea y he puesto mi mejor esfuerzo por ahora. Creo que sólo necesito un pequeño empujón que me ponga en la dirección correcta para terminar esta prueba. Si pudieras echarle un vistazo, ¡sería genial!
Antecedentes de los cosets y las operaciones definidas en $V/W$
Dejemos que $W$ sea un subespacio de un espacio vectorial $V$ en $\mathbb{F}$ . Para algunos fijos $\mathbf{v} \in V$ un coset de $W$ se define como el conjunto
$$ \{\mathbf{v}\} + W = \{ \mathbf{v} + \mathbf{w} \,\,|\,\, \mathbf{w} \in W \}. $$ Normalmente lo denotamos como $\mathbf{v} + W$ Sin embargo.
El conjunto de todos los cosets de $W$ se denota por $$ V/W=\{ \mathbf{v} + W \,\,|\,\, \mathbb{v} \in V \}. $$
La suma y la multiplicación escalar se definen en $V/W$ por $$ (\mathbf{v_1} + W) + (\mathbf{v_2} + W) = (\mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}) + W, \quad \text{and} \\ k(\mathbf{v} + W) = k\mathbf{v} + W, \quad k \in \mathbb{F}. $$
La pregunta
Tengo que demostrar que estas operaciones están bien definidas, es decir, si $\mathbf{v_1} + W = \mathbf{v_1'} + W$ y $\mathbf{v_2} + W = \mathbf{v_2'} + W$ entonces $$ (\mathbf{v_1} + W) + (\mathbf{v_2} + W) = (\mathbf{v_1'} + W) + (\mathbf{v_2'} + W), \quad \text{and}\\ k(\mathbf{v_1} + W) = k(\mathbf{v_1'} + W), \quad \forall k \in \mathbb{F}. $$
Mi problema
Tengo muchas dificultades para probar la primera parte. Hasta ahora tengo esto. $$ \begin{align*} \mathbf{v_1} + W = \mathbf{v_1'} + W &\implies \mathbf{v_1} - \mathbf{v_1'} = \mathbf{w_1} \in W \implies \mathbf{v_1} = \mathbf{v_1'} + \mathbf{w_1}, \quad \text{and}\\ \mathbf{v_2} + W = \mathbf{v_2'} + W &\implies \mathbf{v_2} - \mathbf{v_2'} = \mathbf{w_2} \in W \implies \mathbf{v_2} = \mathbf{v_2'} + \mathbf{w_2}. \end{align*} $$
Entonces, $$ \begin{align*} (\mathbf{v_1} + W) + (\mathbf{v_2} + W) &= (\mathbf{v_1} + \mathbf{v_2}) + W\\ &=\left( (\mathbf{v_1'} + \mathbf{w_1}) + (\mathbf{v_2'} + \mathbf{w_2}) \right), \quad \mathbf{w_1}, \mathbf{w_2} \in W\\ &\quad \,\, \text{Let } \mathbf{w_1} + \mathbf{w_1} = \mathbf{w_3} \in W.\\ &=\left( (\mathbf{v_1'} + \mathbf{v_2'}) + \mathbf{w_3} \right) + W\\ &=\left( (\mathbf{v_1'} + \mathbf{v_2'}) + W \right) + (\mathbf{w_3} + W)\\ &= (\mathbf{v_1'} + W) + (\mathbf{v_2'} + W) + (\mathbf{w_3} + W), \quad \mathbf{w_3} \in W. \end{align*} $$
Como puedes ver, esto se acerca frustrantemente al resultado que quería probar. La única cosa en el camino es el extra $+ (\mathbf{w_3} + W)$ . Sin embargo, ¿hay alguna forma de hacer que desaparezca? ¿O es que toda mi prueba está mal?
Lo único que sé sobre el coset $\mathbf{w} + W$ donde $\mathbf{w} \in W$ es que es un subespacio del espacio vectorial $V$ . ¿Podría utilizar de alguna manera este hecho?
