Consideremos un sistema de ecuaciones lineales $Ax = b$ , donde \begin {eqnarray} % A & = & \left [ \begin {array}{ccccc} 2 & 1 & & & \\ 1 & 4 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 4 & 1 \\ & & & 1 & 2 \\ \end {array} \right ] \in \mathbb {R}^{n \times n} \end {eqnarray} y $n\geq 3$ .
Me gustaría demostrar las dos afirmaciones siguientes, en las que las desigualdades son de tipo elemental: \begin {eqnarray} b \geq 0 & ~~ \Longrightarrow ~~ & x \geq 0 \\ b > 0 & \Longrightarrow & x > 0 ~ . \end {eqnarray}
HECHOS APARENTES: La matriz $A$ es
- cuadrado
- simétrico
- tri-diagonal
- no negativo (por elementos)
- positivo definido
- invertible
- estrictamente dominante en diagonal.
He intentado demostrar las dos afirmaciones basándome en el hecho de que cada elemento de $A$ es no negativo, pero mis intentos de prueba no son herméticos. La matriz $A$ es positivo-definido y simétrico, así como su inverso, pero no he podido aprovecharlo. Se agradece cualquier ayuda y conocimiento. Si conoces alguna otra propiedad del sistema de ecuaciones relacionada con las particularidades de $A$ También agradecería su opinión.
