Si es cerrado bajo intersección contable, entonces también es cerrado bajo unión contable

Question

Estoy mirando la Teoría de la Probabilidad de Klenke. Y comienza si la clase de conjuntos $\mathcal{A}$ es $\setminus$ - cerrado (es decir, cerrado bajo diferencia), entonces:

$$\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcap_{n=2}^{\infty} A_1 \cap A_n = \bigcap_{n=2}^{\infty} A_1 \setminus (A_1 \setminus A_n ) = A_1 \setminus \bigcup_{n=2}^{\infty}(A_1 \setminus A_n ) \in \mathcal{A}$$

Puedo seguir hasta el último $=$ .

Si escribo el término anterior al último y el último, obtengo algo que es diferente, por lo que no sigo:

$$\bigcap_{n=2}^{\infty} A_1 \setminus (A_1 \setminus A_n ) = A_1 \setminus (A_1 \setminus A_2) \cap A_3 \cap A_4 \cap \cdots$$

$$A_1 \setminus \bigcup_{n=2}^{\infty}(A_1 \setminus A_n ) = A_1 \setminus(A_1 \setminus A_2) \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5 \cup\cdots$$

EDIT: Creo que ahora estoy entendiendo lo que está tratando de hacer, pero no lo entiendo. Él usando la propiedad de $\setminus$ - cerrado allí al final. Pero cómo es que esas dos cosas son iguales... Debo estar expandiendo los vasos y las tapas incorrectamente

Answer 1

Creo que te faltan algunos paréntesis.

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n = A_1 \cap \bigcap_{n=2}^\infty A_n = \bigcap_{n=2}^\infty (A_1 \cap A_n) = \bigcap_{n=2}^\infty \Big(A_1 \setminus (A_1 \setminus A_n)\Big)$$

Ahora recuerda las leyes de De Morgan

$$\bigcap_{i\in I} B_i^c = \left(\bigcup_{i\in I} B_i\right)^c$$

Así, si consideramos el complemento con respecto a $A_1$ obtenemos

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n = \bigcap_{n=2}^\infty (A_1 \setminus A_n)^c = \left(\bigcup_{n=2}^\infty (A_1 \setminus A_n)\right)^c = A_1 \setminus \left(\bigcup_{n=2}^\infty (A_1 \setminus A_n)\right)$$