impar Chebyshev, parte 1

Question

PREGUNTA Encontrar todos los triples de números naturales Impares $\ a < b\ $ y $\ c\ $ tal que $\ a+b = c-1\ $ y

$$ \frac {c!!}{a!!\cdot b!!}\ =\ \frac {P(c)}{P(b)} $$

donde $\ P(x) \ $ es el producto de todos los primos $\le x$ .

La fracción anterior de la izquierda se parece un poco a los coeficientes binomiales, pero no son enteros en general; en el caso impar de esta expresión doble ¡! el numerador y los denominadores están más equilibrados (o al menos su totalidad).

EJEMPLO

$$ \frac {45!!}{15!!\cdot 29!!}\,\ =\,\ 31\cdot 37\cdot 41\cdot 43\,\ =\,\ \frac{P(45)}{P(29)} $$

Tal vez sólo haya un número finito de tales fracciones Impares que produzcan un producto primo exacto como en la pregunta. ¿Están todas ellas entre las fracciones $$ \frac {(6\cdot n-3)!!}{(2\cdot n-1)!!\,\cdot\,(4\cdot n-3)!!} $$

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EDITAR De los comentarios de @GerhardPaseman en este hilo se deduce que una condición necesaria para un triple requerido $\ a<b\ $ y $\ c\ $ es la siguiente: si $\ b<n\le c\ $ no es un primo, entonces todos los divisores primos de $\ n\ $ son $\ \le\ a$ para todos esos $\ n$ .

Por lo tanto, debería haber muchos triples de este tipo. Sin embargo, a pesar del sentido común de todo el mundo, todavía no es seguro que haya infinitas soluciones de este tipo.

Answer 1

Voy a demostrar que sólo hay un número finito de soluciones para $a>1$ . Supongamos lo contrario, entonces para grandes $a$ podemos suponer $b/a\to \lambda$ , donde $\lambda\geqslant 1$ es una constante finita o $+\infty$ (para los fijos $a>1$ hay un número finito de soluciones, por supuesto). Usando la aproximación de Stirling (o su prueba) y la PNT, que dice que el producto de los primos entre $b$ y $c$ se comporta como $e^{a+o(a)}$ obtenemos la ecuación $\lambda\log(1+1/\lambda)+\log(1+\lambda)=2$ Por lo tanto $\lambda=2.23\dots$ . En este caso consideremos un primo $p$ ligeramente superior a $a/3$ . Su plaza divide $(b+2)\dots c$ (el producto contiene tanto $7p$ y $9p$ ), pero no divide $a!!$ , por lo que divide $c!!/a!!b!!$ . Una contradicción.

Si $\lambda$ tiende a infinito, utilizamos alguna estimación superior para el número de primos entre $c$ y $b$ . Al principio, tenemos $\log(b)/\log(a)\to 1$ ya que casi todos los números entre $b$ y $c$ son compuestas y, de lo contrario, su producto superaría $a!!$ . A continuación, por el resultado de Huxley (o Heath-Brown, o lo que sea, bastan muchos resultados, véase las referencias aquí ), tenemos $\pi(c)-\pi(b)\sim \pi(a)$ en este caso. Así, el producto de los números compuestos entre $b$ y $c$ es al menos $b^{a/2-2a/\log a}>a^{a/2}>a!!$ para grandes $a$ .

Answer 2

Permítanme complementar el resultado general de @FedorPetrov con los casos de valor pequeño $a$ . Esto también aclarará posibles impresiones vagas del hilo. La pauta general debería surgir pronto incluso de los casos con un tamaño relativamente pequeño $\ a.\ $ Más adelante, puede que amplíe mi lista.

(Mis cálculos no utilizaron ningún ordenador).

Sea un triple de números naturales Impares $\ (a\ b\ c)\ $ tal que $\ a\le b\ $ y $\ a+b = c-1\ $ satisfechos:

$$ \frac{c!!}{a!!\cdot b!!}\ =\ \frac{P(c)}{P(b)} $$

Entonces, y sólo entonces, diré que $\ (a\ b\ c)\ $ produce arPP ( produce un producto de primera calidad )

Caso $\ a=3:\ $ hay no triples $\ (3\ b\ c)\ $ que producen arPP;

Caso $\ a=5:\ $ hay exactamente tres diferentes triples $\ (5\ b\ c)\ $ que producen arPP, visualmente:

$\qquad \frac{15!!}{5!!\cdot 9!!}\ =\ 11\cdot 13 $

$\qquad \frac{17!!}{5!!\cdot 11!!}\ =\ 13\cdot 17 $

$\qquad \frac{19!!}{5!!\cdot 13!!}\ =\ 17\cdot 19 $

Caso $\ a=7:\ $ hay exactamente dos triples $\ (7\ b\ c)\ $ que producen arPP, visualmente:

$\qquad \frac{107!!}{7!!\cdot 99!!}\ =\ 101\cdot 103\cdot 107 $

$\qquad \frac{109!!}{7!!\cdot 101!!}\ =\ 103\cdot 107\cdot 109 $

Caso $\ a=9:\ $ hay no triples $\ (9\ b\ c)\ $ que producen arPP.

Caso $\ a=11:\ $ hay exactamente dos triples $\ (11\ b\ 105)\ $ que producen arPP, visualmente:

$\qquad \frac{107!!}{11!!\cdot 95!!}\ =\ 97\cdot 101\cdot 103\cdot 107 $

$\qquad \frac{109!!}{11!!\cdot 97!!}\ =\ 101\cdot 103\cdot 107\cdot 109 $

Para resumirlo:

TEOREMA Hay exactamente siete triples diferentes $\ (a\ b\ c)\ $ que producen arPP para $\ a\ $ tal que $\ 1<a\le 11$ .