18 votos

¿Existe una identidad combinatoria para las multiplicidades del siguiente conjunto?

¿Estás preparado para unas fotos psicodélicas? Definir el multiset $$S_n=\left\{\sum_{j=1}^n(-1)^{\left\lfloor(k-1)/2^{j-1}\right\rfloor}u_n^j\mbox{ for }1\leq k\leq2^n\right\}$$ donde $$u_n^j=\left(\begin{array}{cc} \\ \mbox{Cos}\left(\frac{2\pi j}{n}\right) \\ \mbox{Sin}\left(\frac{2\pi j}{n}\right) \end{array}\right)$$ es el vector unitario que apunta a la $2\pi j/n$ -dirección.

Aquí hay una imagen de $S_0$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_1$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_2$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_3$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_4$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_5$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_6$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_7$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_8$ :

enter image description here

Aquí hay una imagen de $S_9$ :

enter image description here

Aquí hay una enlace a una versión de 1761 x 1761 píxeles .

Aquí hay una imagen de $S_{10}$ :

enter image description here

Aquí hay una enlace a una versión de 1941 x 1941 píxeles .

Aquí hay una imagen de $S_{11}$ :

enter image description here

Aquí hay una enlace a una versión de 3432 x 3432 píxeles .

Aquí hay una imagen de $S_{12}$ :

enter image description here

Aquí hay una enlace a una versión de 3048 x 3048 píxeles .

Aquí hay una imagen de $S_{13}$ :

enter image description here

Aquí hay una enlace a una versión de 6683 x 6683 píxeles .

Aquí hay una imagen de $S_{14}$ :

enter image description here

Aquí hay una enlace a una versión de 4317 x 4317 píxeles .

Aquí hay una imagen de $S_{15}$ :

enter image description here

Aquí hay una enlace a una versión de 7638 x 7638 píxeles .

Aquí hay una imagen de $S_{16}$ :

enter image description here

Aquí hay una enlace a una versión de 7946 x 7946 píxeles .

Las imágenes anteriores se obtuvieron colocando una función lorentziana 2D en las coordenadas especificadas por cada elemento de $S_k$ . Dado que algunos puntos aparecen varias veces en $S_k$ En este caso, algunas de las fuentes de luz son más brillantes que otras, siendo los puntos brillantes de alta degeneración y los puntos débiles de baja degeneración.

Naturalmente, esto nos lleva a preguntarnos:

  • ¿Cuál es la distribución de los brillos de los puntos en las fotografías anteriores?

Para empezar, he calculado la degeneración de cada vector en $S_n$ para $0\leq n \leq 15$ y luego histograma las degeneraciones (es decir, $\mbox{Tally[Tally[}S_n\mbox{][[All,2]]]}$ en notación de Mathematica), lo que arrojó los siguientes resultados: $$\left( \begin{array}{cc} n\text{ = 0} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 1} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 2} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 3} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 4} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 4 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 5} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 30 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 6} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ 2 & 6 \\ 6 & 6 \\ 10 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 7} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 126 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 8} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 16 \\ 2 & 32 \\ 4 & 24 \\ 8 & 8 \\ 16 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 9} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 216 \\ 2 & 108 \\ 4 & 18 \\ 8 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 10} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 30 \\ 2 & 70 \\ 4 & 60 \\ 8 & 20 \\ 12 & 20 \\ 18 & 10 \\ 34 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 11} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 2046 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 12} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 36 \\ 2 & 72 \\ 4 & 36 \\ 6 & 72 \\ 10 & 12 \\ 12 & 72 \\ 20 & 12 \\ 36 & 36 \\ 60 & 12 \\ 100 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 13} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 8190 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 14} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 126 \\ 2 & 434 \\ 4 & 630 \\ 8 & 490 \\ 16 & 210 \\ 24 & 70 \\ 32 & 42 \\ 36 & 42 \\ 66 & 14 \\ 130 & 1 \\ \end{array} \right) \\ n\text{ = 15} & \left( \begin{array}{cc} 1 & 6510 \\ 2 & 4620 \\ 3 & 420 \\ 4 & 1380 \\ 5 & 360 \\ 6 & 360 \\ 8 & 60 \\ 9 & 120 \\ 10 & 180 \\ 12 & 120 \\ 14 & 60 \\ 20 & 30 \\ 38 & 1 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \right)$$ Como ejemplo de la notación anterior, para $n=15$ En el caso de la luz, se han registrado 6510 puntos de luz 1, 4620 puntos de luz 2, ..., y 1 punto de luz 38.

Intenté buscar en la base de datos Sloane OEIS las columnas de estas secuencias de números enteros finitos para ver si formaban el principio de alguna secuencia, pero no encontré ninguna coincidencia evidente.

Pregunta: ¿Alguien ha visto estas secuencias antes? ¿Y existe un método combinatorio para determinar la multiplicidad de un elemento arbitrario de $S_n$ ?

Un poco de información de fondo: Se puede demostrar con un poco de geometría que los elementos vectoriales de $S_n$ y sus multiplicidades son en realidad las ubicaciones y brillos de los máximos de la siguiente función bivariante: $$f_n(k_1,k_2)=\left|\int_{-\infty}^\infty dx\int_{-\infty}^\infty dy\mbox{ }e^{2\pi i(k_1x+k_2y)}\prod_{j=1}^ng\left[(1,0)\cdot R\left(\frac{2\pi j}{n}\right)\cdot(x,y)\right]\mbox{Cos}\left[(1,0)\cdot R\left(\frac{2\pi j}{n}\right)\cdot(x,y) \right]\right|$$ donde $g$ es cualquier función de "factor de estructura" que varía lentamente y $R(\theta)$ es la matriz de rotación del ángulo $\theta$ . Por ejemplo, aquí hay un gráfico de $\sqrt{f_{11}(k_1,k_2)}$ :

enter image description here

Existe una versión más grande y mucho más bonita de 2000 x 2000 píxeles aquí . La imagen de arriba es esencialmente $S_{11}$ pero convolucionado con la transformada de Fourier del factor de estructura (he utilizado $g$ para ser una función theta de Heaviside desplazada $g(x)=\theta(c-x)$ ). Los canales de brillo de la imagen están saturados para mostrar los detalles más finos del conjunto.

También se pueden hacer fotos adicionales interesantes sustituyendo $\mbox{Cos}\left[(1,0)\cdot R\left(\frac{2\pi j}{n}\right)\cdot(x,y) \right]$ con funciones más complicadas de frecuencia modulada como $\mbox{Cos}\left[z\mbox{ }\mbox{Cos}\left[(1,0)\cdot R\left(\frac{2\pi j}{n}\right)\cdot(x,y) \right]\right]$ , que según el Expansión de Jacobi-Anger generará armónicos de orden superior ponderados por Bessel de la red, como se muestra en la siguiente imagen de $S_5$ :

enter image description here

La imagen se ha calculado utilizando una FFT que se ha elegido a propósito para el alias de Nyquist de los armónicos superiores de $S_5$ en el marco de la imagen, generando el patrón de constelación que se ve allí. Aquí hay una imagen ligeramente más grande Versión de 1000 x 1000 píxeles . Y aquí hay otra interesante, que no recuerdo cómo hice, pero que podría no ser realmente una imagen de un $S_n$ (Estaba haciendo cosas al azar en ese momento):

enter image description here

Existe una versión de 2000 x 2000 píxeles aquí . Espero que alguien encuentre las imágenes publicadas tan bonitas como yo, ¡aunque no exista una solución combinatoria! :)

3voto

MarcE Puntos 254

Los vectores $u_j^n$ son potencias de la primitiva $n$ -raíz de la unidad $\zeta_n$ en el plano complejo. La colección de vectores $S_n$ que está buscando para cada fijo $n$ consiste en todas las combinaciones de asignaciones de signos de $$\pm\zeta_n^1 \pm \zeta_n^2 \pm \cdots \pm \zeta_n^n.$$ Esto se deduce del hecho de que $\left\lfloor{(k-1)/2^{j-1}}\right\rfloor$ produce el $j$ -ésima cifra de la expansión binaria de $k$ . El $2^n$ opciones para $k$ corresponden naturalmente a las elecciones de un subconjunto de $\{1,\ldots,n\}$ que determina una elección de signos.

Todos los cálculos se realizan en $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ El $n$ -a campo ciclotómico. Para una determinada asignación de signos, se puede dividir su correspondiente polinomio por el $n$ -ésimo polinomio ciclotómico y encontrar el resto. Esto determina un vector en $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ . Desde $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ es un espacio vectorial, dos de sus vectores son iguales si y sólo si tienen los mismos coeficientes en $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ . Por ejemplo, para $n=6$ tenemos $\zeta_6^1 + \zeta_6^2 - \zeta_6^3 + \zeta_6^4 - \zeta_6^5 - \zeta_6^6 = -2 + 2\zeta_6 = \zeta_6^1 + \zeta_6^2 + \zeta_6^3 - \zeta_6^4 + \zeta_6^5 - \zeta_6^6$ . El vector central $-2 + 2\zeta_6$ se expresa en la base estándar de $\mathbb{Q}(\zeta_6)$ .

Esto da un enfoque de fuerza bruta para encontrar su distribución que se basa sólo en la división de polinomios enteros (o racionales). Para su pregunta sobre cuántos son iguales a un vector determinado, podemos invertir la división polinómica para crear un árbol de posibilidades que termine con una lista de vectores equivalentes. Sin embargo, esto también es fuerza bruta, y puede haber una forma mejor.

Para la primera $p$ El $p$ -El polinomio ciclotómico número uno es $x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1$ . Así, no es difícil convencernos de que $S_p$ consiste en el vector cero dos veces, y todos los demás vectores aparecen exactamente una vez.

Por lo que respecta a la arbitrariedad $n$ Sospecho que puede ser difícil incluso determinar cuántos de ellos son el vector cero, por no hablar del resto de la distribución. Si nos preguntamos cuántas de las opciones de signo dan lugar al vector cero para un $n$ llegamos a OEIS103314 . Esa entrada de la OEIS tiene muchas fórmulas bonitas, pero no veo ninguna fórmula que dé la respuesta correcta para $n = pqr$ , donde $p$ , $q$ y $r$ son primos Impares distintos.

Por último, sus imágenes se parecen mucho a las proyecciones ortográficas poligonales de Petrie de un $n$ -en el plano, pero sólo para $n$ impar. (Toma un $n$ -hipercubo dimensional y proyectar sus vértices y aristas en el plano de una forma determinada). Sus imágenes son más bonitas, pero para referencia y comparación, véase Página del hipercubo de Wikipedia .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X