Encontrar el máximo de $A=\frac a{2+bc}+\frac b{2+ca}+\frac c{2+ab}$

Question

Dejemos que $a,b,c\ge 0$ satisfacer $a^2+b^2+c^2=2$ . Encuentre el máximo de $$A=\frac{a}{2+bc}+\frac{b}{2+ca}+\frac{c}{2+ab}.$$

Ya veo $\max A=1$ y se produce cuando $(a,b,c)=(1,1,0)$ y su permutación. Así que voy a demostrar esta desigualdad: $$\frac{a}{2+bc}\le \frac{a}{a+b+c} \quad \text{or} \quad 2+bc\ge a+b+c.$$

Es cierto porque $$2(2+2bc)=(1+1)(a^2+(b+c)^2)\ge (a+b+c)^2.$$ ¿Es correcto? Y quiero un nuevo método.

Answer 1

Es cierto que $2(2+2bc)=(1+1)(a^2+(b+c)^2)\ge (a+b+c)^2$ pero no demuestra su desigualdad porque $2 \le a+b+c$ no está demostrado. En realidad, no es cierto. Prueba con $a=b=c=\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

En su lugar, $2+bc\ge a+b+c$ equivale a $$2-b-c+bc\ge a$$ o $$(2-b-c+bc)^2\ge a^2$$ o $$b^2 c^2 - 2 b^2 c + 2b^2 - 2 b c^2 + 6 bc - 4 b + 2c^2 - 4 c +2 \ge0$$ o $$(b-1)^2(c-1)^2+(b+c-1)^2\ge0$$ lo cual es obvio.