En primer lugar, estaría bien que enlazaras las definiciones de fórmula F-K y KBE que tienes en mente. En fin:
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La KBE es una ecuación utilizada para estudiar $P_t f(x):=\mathsf E_x[f(X_t)]$ en términos del generador $$ \mathcal A :=\lim_{t\downarrow 0}\frac{P_t - P_0}{t}. $$ En efecto, esto se aplica a los procesos de Markov generales, ya que su definición depende únicamente de nociones como semigrupos y generadores.
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La fórmula F-K (al menos la dada en Oksendal, Teorema 8.2.1) está dedicada al mismo problema y parece ser sólo una generalización al caso de mató a difusiones. El término mató a se refiere al proceso que no es conservador, por ejemplo, para los procesos de Markov conservadores $P_t1 = 1$ para todos los tiempos $t$ mientras que para los no conservadores $P_t1\leq 1$ y $P_t1\neq 1$ . Esto se refiere al caso en que el proceso "abandona" el espacio de estado en algún momento aleatorio $\zeta$ ( matando el tiempo ) y salta a algún auxiliar cementerio estado.
Has escrito que la fórmula F-K es una EDP ligada a una EDS. Sin embargo, yo esperaría que dicha SDE tenga que ser markoviana, ya que de otra manera no tendrías una bonita dependencia de los estados exclusivamente (como requiere la PDE). No he visto la fórmula F-K (como una PDE) para SDEs no markovianas, así que será interesante si proporcionas un enlace.
Aunque la fórmula F-K está planteada originalmente para SDE, nada impide formularla sobre procesos de Markov generales. Sin embargo, supongo que en este caso se trata de un caso especial de KBE para procesos de Markov no conservadores. Por desgracia, no tengo a mano una monografía de Dynkin "Procesos de Markov", pero estoy bastante seguro de que puedes encontrarla allí.
Añadido:
En cuanto a tu pregunta sobre la clasificación. Hay SDE markovianas y no markovianas. Una clase de soluciones de las EDEs markovianas de una forma especial se llama Difusiones de Ito . En general, las SDE (en un sentido de problema de la martingala ) pueden considerarse como un superconjunto de procesos de Markov, pero tales SDEs no tienen que ser conducidos únicamente por el movimiento browniano.
El matonismo/no conservadurismo es una estructura añadida sobre las estructuras anteriores. Esto se refiere al caso, cuando $\Bbb P(X_t \in E)<1$ donde $E$ es un espacio de estados y $t>0$ . Sin embargo, no soy un experto en eso, y te sugiero que empieces a leer un libro serio sobre procesos estocásticos, en lugar de estar al acecho en la wikipedia.
