$34!=295232799cd96041408476186096435ab000000$ , encontrar $a$ , $b$ , $c$ y $d$

Question

Había una pregunta de teoría de números que tengo que hacer para los deberes.

$34!=295232799cd96041408476186096435ab000000$ , encontrar $a$ , $b$ , $c$ y $d$

Lo sé. $b=0$ porque $10^7\big|34!$ sólo. ¿Pero cómo puedo encontrar otras variables?

Observación:

No se puede utilizar ningún dispositivo de cálculo electrónico para el cálculo. (Tengo que escribir la solución completa).

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Conociendo $b=0$ y $\frac{34!}{10^7}$ siendo un múltiplo de $8$ los tres últimos dígitos no nulos $35a$ debe ser divisible por $8$ Así que $a=2$ con seguridad. Ahora establece las ecuaciones lineales módulo $9$ y $11$ (esto es sólo una suma de dígitos y una suma de dígitos alternados, y lo aprendí estudiando el sistema Trachtenberg hace mucho tiempo) y obtenemos $$d+c\equiv3\bmod9$$ $$d-c\equiv3\bmod11$$ desde $9,11\mid34!$ Por ensayo y error vemos que $d=3$ y $c=0$ , por lo que la solución es $\overline{abcd}=2003$ .

Answer 2

La suma de los dígitos es divisible por $9$ , lo que da $$a+c+d\equiv5(\mod9).$$ $$2-9+5-2+3-2+7-9+9-c+d-9+6-0+4-1+4-0+8-4+7-6+1-8+6-0+9-6+4-3+5-a\equiv0(\mod11),$$ que da $$a+c-d\equiv-1(\mod11).$$ Desde aquí podemos obtener $a+c=2$ y $d=3$ .

Ahora bien, como $a\in\{2,6\}$ obtenemos $a=2$ , $c=0$ ¡y hemos terminado!