EDITAR: Resolver la EDO de segundo orden $y''+\frac{1}{x}y'=a,\;a$ constante mediante la variación de los parámetros

Question

Nota: He cambiado $y$ a $y'$ . Resolver la EDO de segundo orden $y''+\frac{1}{x}y'=a,\;\;a$ constante.

Para poder utilizar la variación de parámetros, necesito encontrar dos soluciones linealmente independientes $y_1$ y $y_2$ donde la solución particular, $y_p$ viene dada por

\begin {alinear} y_p(x)=-y_1(x) \int\dfrac {r(x)y_2(x)}{W(y_1,y_2)}dx+y_2(x) \int\dfrac {r(x)y_1(x)}{W(y_1,y_2)}dx \end {align} y $W,\;r(x)$ son el Wronskian y el lado derecho, respectivamente. Aquí, $r(x)=a.$

Por lo tanto, tengo que buscar la solución a $y''+\frac{1}{x}y'=0$ para conseguir $y_1$ y $y_2.$ Si los consigo, he terminado. ¿Hay alguna manera de conseguir estos dos?

Answer 1

Puede integrar $xy''+y'=0$ a $xy'=C$ y además a $y=C\ln x+D$ que es la solución homogénea o complementaria.

Answer 2

Esto tiene solución. $$xy''+y'=0\\(xy')'=ax\\xy'=C_1\\y=\int\frac {C_1}x\,dx\\y=C_1\ln x+C_2$$ Así que sus dos soluciones independientes pueden ser $1$ y $\ln x$ .