¿Es la ecuación característica en la EDO la misma ecuación característica en el álgebra lineal?

Question

¿Puede alguien indicarme si eso de la "ecuación característica" en la EDO es la misma ecuación característica que derivamos para una matriz?

Por ejemplo, dado $y'' + 2y = 0$ la ecuación característica es $\lambda^2 = -2$

¿Cómo se corresponde esta ecuación con las de una matriz?

Answer 1

Supongamos que se comienza con un polinomio $$ p(w) = w^{n}+a_{n-1}w^{n-1}+a_{n-2}w^{n-2}+\cdots+a_{1}w+a_{0}. $$ Consideremos la ecuación diferencial $p(D)f=0$ donde $D=\frac{d}{dx}$ es el operador de diferenciación. Es decir, consideremos la ecuación diferencial $$ f^{(n)}+a_{n-1}f^{(n-1)}+a_{n-2}f^{(n-2)}+\cdots+a_{1}f'+a_{0}f=0. $$ El espacio de la solución $M$ de esta ecuación diferencial es un espacio lineal finito de dimensión $n$ y este espacio de soluciones es invariante bajo el operador $D$ . Así que $D$ está representada por una matriz $[D]$ en $M$ y el polinomio característico de $[D]$ es $p$ . De hecho, los polinomios mínimos y característicos de $[D]$ son ambos $p$ que es interesante de forma independiente.

En su caso: El espacio de soluciones de $(D^{2}+2I)f=0$ es un subespacio lineal $M$ que es invariante bajo $D$ . Cuando $D$ se representa como una matriz $[D]$ en el espacio de soluciones $M$ tiene un polinomio característico y un mínimo $p(x)=x^{2}+2$ . Por ejemplo, una de estas bases es $\{ e^{i\sqrt{2}x},e^{-i\sqrt{2}x}\}$ y la matriz $[D]$ en esta base es $$ [D]=\left[\begin{array}{cc}i\sqrt{2} & 0 \\ 0 & -i\sqrt{2}\end{array}\right], $$ que tiene un polinomio mínimo y característico $(\lambda-i\sqrt{2})(\lambda+i\sqrt{2})=\lambda^{2}+2$ .

Answer 2

Reescribamos la EDO como un sistema de primer orden:

$$\begin{align*} y_1 &= y\\ y_2 &= y' \\ y'_1 &= y_2 \\ y'_2 &= 2y_1. \end{align*}$$

Este es un sistema lineal, así que dejemos que $\mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$ . Entonces,

$$\mathbf{y}' = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}}_{=A} \mathbf{y}.$$

Ahora, podemos utilizar la exponencial de la matriz para resolver esta EDO de la manera habitual, pero más bien vamos a explorar la ecuación característica de la matriz $A$ :

$$A-\lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ -2 & -\lambda\end{pmatrix}\\ \det A-\lambda I = (-\lambda)^2 + 2.$$

Si se iguala a cero, se obtiene

$$\lambda^2 +2 = 0$$

que es precisamente la ecuación característica obtenida mediante el método "tradicional" de conversión de derivadas de $y$ a los poderes de $\lambda$ .