Encuentre todos $n\in \mathbb{Z^+}, \ \phi (3n)=\phi (4n)=\phi (6n)$

Question

Denotamos con $\phi$ La función Phi de Euler.

Queremos encontrar todos los $n\in \mathbb{Z^+}: \ \phi (3n)=\phi (4n)=\phi (6n).$

Respuesta: Dejemos que $n=2^k3^lm$ : $k,l\in \mathbb{N}, \ m\in \mathbb{Z^+},\ \text{gcd}(m,2)=\text{gcd}(m,3)=1$ . Entonces tenemos:

1. $\phi (3n)=\phi (4n) \implies \phi(2^k)3^l=2^k\phi(3^l) $
   • Si $k,l>0$ tenemos una contradicción.
   • Si $k=0,l>0\implies 3^l=\phi(3^l)\implies l=0.$
   • Si $l=0,k>0\implies 2^k=\phi(2^k) \implies k=0$ .

Así que, $\phi (3n)=\phi (4n) \iff n\in A=\{m\in \mathbb{Z^+}: \text{gcd}(m,6)=1\}$ .

2. $\phi (4n)=\phi (6n)\implies \phi(3^l)=3^l\implies l=0 $ .

Así que, $\phi (4n)=\phi (6n) \iff n\in B=\{2^km\in \mathbb{Z^+}: \text{gcd}(m,6)=1, k\in \mathbb{N}\} \supseteq A$ .

Finalmente, $\ \phi (3n)=\phi (4n)=\phi (6n) \iff n \in A \cap B=A \iff n=m \in \mathbb{Z^+}:\text{gcd}(m,6)=1.$

¿Esta prueba es completamente correcta? Y, además, ¿hay otra forma de demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

Al comenzar, deja que $n = 2^a 3^b m$ con $\gcd (m, 6) = 1$ . Las condiciones dadas pueden entonces reescribirse como $\phi (2^a 3^{b+1}) = \phi (2^{a+2} 3^b) = \phi (2^{a+1} 3^{b+1})$ es decir $\phi (2^a) \phi(3^{b+1}) = \phi (2^{a+2}) \phi (3^b) = \phi (2^{a+1}) \phi(3^{b+1})$ .

Por muy aburrido que sea, ahora hay que examinar varios casos.

1. Si $a=b=0$ entonces lo anterior es $2 = 2 = 2$ lo que significa que todos los números con $\gcd (m, 6) = 1$ son buenas.

2. Si $a=0$ y $b>0$ entonces la igualdad dada implica $2 \cdot 3^b = 2 \cdot 2 \cdot 3^{b-1} = 2 \cdot 2 \cdot 3^b $ lo que se ve fácilmente que es imposible.

3. Si $a>0$ y $b=0$ entonces la igualdad dada implica $2^{a-1} \cdot 2 = 2^{a+1} = 2^a \cdot 2$ de nuevo imposible.

4. Si $a>0$ y $b>0$ entonces la igualdad dada implica $2^{a-1} \cdot 2 \cdot 3^b = 2^{a+1} \cdot 2 \cdot 3^{b-1} = 2^a \cdot 2 \cdot 3^b$ de nuevo imposible.

Por lo tanto, la solución es $\{m \in \Bbb Z \mid \gcd (m, 6) = 1\}$ .

Answer 2

Tenemos $\phi(3)=\phi(4)=\phi(6)=2$ y para cualquier $n$ coprima a $2$ , $3$ , $6$ Por lo tanto, a $6$ tenemos, porque $\phi$ es multiplicativo $$ \phi(3n)=\phi(4n)=\phi(6n)=2\phi(n). $$ Si $n$ es divisible por $2$ entonces $\phi(4n)>\phi(3n)$ por lo que la igualdad anterior no se cumple. De forma similar para los otros casos.

Answer 3

El enfoque más corto que puedo ver utiliza el siguiente principio simple: $\frac{\phi(n)}n$ está determinada sólo por el conjunto de primos que dividen a $n$ (y no sus exponentes). Esto nos permite hacer deducciones sin ningún cálculo explícito sobre los exponentes.

Supongamos que $n$ satisface la condición requerida. Entonces, como $\phi(3n) = \phi(6n)$ es distinto de cero, $\frac{\phi(3n)}{3n} \ne \frac{\phi(6n)}{6n}$ Así que $3n$ y $6n$ tienen conjuntos distintos de divisores primos $\implies n$ es impar.

Desde $n$ es impar, $\phi(4n) = 2 \phi(n)$ que, por supuesto, es igual a $\phi(3n)$ . Así, $\frac{\phi(n)}{n} \ne \frac{\phi(3n)}{3n}$ Así que $n$ y $3n$ tienen conjuntos distintos de divisores primos $\implies n$ no es divisible por $3$ .

Así, $n$ debe ser relativamente primera a $6$ .

Por último, esta condición necesaria es suficiente ya que $\phi(3) = \phi(4) = \phi(6) = 2$ y $(n,6)=1$ implica $\phi(3n) = \phi(4n) = \phi(6n) = 2\phi(n).$