Prueba ( $\leftarrow$ dirección) que una secuencia converge si es eventualmente constante

Question

Sé que hay un posible duplicado, pero creo que esa pregunta está pidiendo la prueba a la derecha. Ya he probado la dirección correcta, pero ahora estoy atascado en la izquierda.

Intento demostrar que dado un espacio métrico discreto $(X, \delta)$ una secuencia converge con respecto a $\delta$ si y sólo si es eventualmente constante.

He comenzado con la suposición con eventualmente constante, o en otras palabras $\exists p \in X$ y $N \in \mathbb{N}$ tal que $p_n = p$ para todos $n \geq N$ . Por definición de convergencia sé que se dice que una secuencia converge si $\forall \epsilon > 0$ existe un intergénero N tal que $n \geq N$ implica que $d(p_n, p) < \epsilon$ . Me parece que este problema es relativamente sencillo, pero sigo sin ver cómo puedo demostrar que si una secuencia es eventualmente constante entonces converge.

Answer 1

Para mostrar la convergencia a un límite $L$ es necesario demostrar que: dada cualquier definición de "suficientemente cerca" (dada $\epsilon>0$ ), eventualmente (existe $N\in\mathbb{N}$ de modo que para $n>N$ ) su secuencia está "suficientemente cerca" del límite ( $\delta(p_n, L)<\epsilon$ ).

En este caso: si su secuencia es siempre igual a $p$ para $n$ suficientemente grande, entonces $p$ debería ser sin duda el límite. Y convenientemente, sabemos que $\delta(p, p)=0$ .

Por lo tanto, que cualquier $\epsilon>0$ se le dará. Sabemos que para $n>N$ , $p_n=p$ así, para todos $n>N$ ¿Qué puede decir sobre $\delta(p_n, p)$ ?