Métodos para comprender mejor una ecuación diferencial que sólo puede resolverse numéricamente

Question

Tengo una ecuación diferencial de la siguiente forma

$$ \frac{\text{d}}{\text{d}x} y(x) = f(x) - cx^2g(x) \int_{t=x}^1 \frac{h(t)}{t^2}y(t) \; \text{d}t $$

donde $c$ es una constante y $f$ , $g$ y $h$ son funciones de $x$ que se conocen numéricamente en los puntos $0=x_1, x_2, \ldots x_n=1$ .

Puedo resolver esto para $y(x)$ bajo la suposición de algunas condiciones de contorno. No hay problema. Pero, me gustaría entender mejor esta ecuación. ¿Cuáles son algunas buenas opciones para estudiar y visualizar esta ecuación?

Answer 1

Podrías considerar reescribir esto usando una función extra $z(x) = \int_x^1 \frac{h(t)y(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t$ . Entonces, tenemos las ecuaciones acopladas \begin {align*} y'(x) &= f(x)-cx^2g(x)z(x) \\ z'(x) &= \frac {h(x)y(x)}{x^2} \end {align*} con una condición inicial añadida en $z$ para aplicar nuestra definición ad hoc. Podríamos entonces elegir algún tipo de interpolación para $f$ , $g$ y $h$ y luego podríamos aplicar la teoría estándar de las EDO y de los sistemas dinámicos para hacer algunas afirmaciones cualitativas sobre el comportamiento del sistema.