El estallido de la curva $x^4+y^4-xyz^2$ en $\mathbb{P}^2$

Question

[Problema] (Problemas de curvas algebraicas de Fulton 7.9)

Dejemos que $C=V(x^4+y^4-xyz^2)$ . Escribe las ecuaciones de una curva no singular $X$ en algunos $\mathbb{P}^N$ que es biracionalmente equivalente a $C$ . (Utiliza la incrustación de Segre)

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[Mi intento]

En primer lugar, encontré los puntos múltiples (puntos singulares) utilizando el gradiente. El único punto singular es $P=[0:0:1]$ .

A continuación, traté de ampliar esta curva considerando $[x:y:z] \times [u:t] \in \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^1$ $$ \begin{cases} x^4+y^4-xyz^2=0 \\xt-yu=0 \end{cases}$$

Entonces, multiplicando $u^4$ a la primera ecuación, obtenemos $x^4u^4+y^4u^4-xyz^2u^4= x^4u^4+(xt)^4-xz^2u^3(xt)=x^2(x^2u^4+x^2t^4-z^2u^3t) =0$

Por lo tanto, este $x^2u^4+x^2t^4-z^2u^3t=0$ es el primer resultado de la explosión de la curva.

Sin embargo, en $[x:y:z] \times [u:t]=[0:0:1] \times [0:1]$ observando el caso afín ( $z=1, t=1$ ), $x^2u^4+x^2+u^3=0$ tienen singularidad.

Estoy atrapado aquí. No sé cómo puedo proceder a la voladura de esta curva una vez más y cómo utilizar el Segre imbedding..

Gracias por su atención.

Answer 1

Encuentro un pequeño pero bonito truco en esta situación.

La curva $ x^2u^4+x^2t^4-z^2u^3t=0$ tienen un subconjunto abierto $x^2u^4+x^2t^4-z^2u^3t=0 , u \neq 0$ .

Estas dos variedades son evidentemente equivalentes desde el punto de vista burocrático, ya que se trata de un subconjunto denso abierto.

Ahora, $$ x^2u^4+x^2t^4-z^2u^3t=0 , u \neq 0 $$ $$ \Rightarrow x^2u^2+\frac{x^2t^4}{u^2}-z^2ut=0 \Leftrightarrow x^2u^2+y^2t^2-z^2ut=0$$ (en la última parte, utilice $xt=yu$ )

Por lo tanto, encontramos la voladura $x^2u^2+y^2t^2-z^2ut=0$ que tiene $(2,2)$ bipartito.

Finalmente, podemos utilizar la incrustación de Segre y la respuesta es $T_{1,1}^2+T_{2,2}^2-T_{3,1}T_{3,2}=0$ en $\mathbb{P^5}$ .