Demuestre que para un primo $p$ el polinomio $x^p+a$ en $\mathbb Z_p[x]$ no es irreducible para cualquier $a \in \mathbb Z_p$

Question

Aquí está mi intento:

$\mathbb Z_p[x]$ es un dominio integral con la característica $p$ para un primer $p$ .

Dejemos que $\alpha$ sea una raíz de $x^p+a$ . Así que $a=-\alpha^p$

Entonces el polinomio se convierte en $x^p-\alpha^p=(x-\alpha)^p$

Por lo tanto, no es irreductible.

¿Esta prueba es correcta?

Answer 1

Es correcto, siempre que recuerde que $a^p=a$ para cada $a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ por el pequeño teorema de Fermat.

Yo diría, entonces, $x^p+a=x^p+a^p=(x+a)^p$ Es más sencillo.

Obsérvese que lo mismo ocurre si se utiliza cualquier campo finito $F$ de la característica $p$ en lugar de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . De hecho, el mapa $$ a\mapsto a^p $$ es un homomorfismo de campo $F\to F$ por lo que es inyectiva y, por tanto, también es sobreyectiva por finitud de $F$