Demostrando que $\det (A^2 - I) < 0 \Rightarrow \lambda \in (-1,1)$

Question

Dejemos que $A$ sea una matriz real cuadrada. Si $\det (A^2 - I) < 0$ entonces $A$ tiene un valor propio $\lambda \in (-1,1)$ .

¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Sugerencia :

$\det(A^2-I)<0\Rightarrow \det(A+I)\cdot \det(A-I)<0$

Considere $f(x)=\det(A+xI)$ y considerar el caso de $\det(A+I)>0$ y $\det(A-I)<0$

• ¿Qué es? $f(1)$
• ¿Qué es? $f(-1)$

Utilice el teorema del valor intermedio para esto $f(x)$ y completar el resto...

Answer 2

Sugerencia : Tenemos, si $\lambda_i$ , $1 \le i \le n$ denotan los valores propios de $A$ , $$\det(A^2 - 1) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i^2 - 1)$$