Multiplicación de tensores métricos.

Question

Supongamos que tengo la métrica $g_{ab}$ en una variedad k-dimensional. En primer lugar, ¿los tensores métricos de este tipo siempre conmutan? ¿Es siempre necesariamente cierto que $g^{ab}g_{bc}=\delta^a_c$ ? ¿Qué sucede cuando multiplico las métricas como. $g^{ab}g_{cd}=?$ Por último, ¿es este tensor $g^{cd}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})$ siempre es igual a cero (recordemos que estamos en una variedad general de k dimensiones.

No puedo encontrar nada de esto explícitamente en mi libro de texto, así que cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Los tensores métricos se definen como formas bilineales simétricas, por lo que podemos escribirlos como matrices simétricas. Como tensores generales, los tensores métricos no son conmutativos en general (prueba en dimensión $2$ por ejemplo para construir dos matrices simétricas que no conmutan).

Ahora bien, si $g^{ab}$ se define como la matriz inversa de $g_{ab}$ entonces $g^{ab}g_{ab}$ es la matriz de identidad. Por lo tanto, $g^{ab}g_{bc}$ es $1$ en la diagonal, $0$ en otro lugar (es decir, es $1$ si $a=c$ ).

Por último, se tiene $$g^{cd}\left(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}\right)=g^{cd}g_{ac}g_{bd}-g^{cd}g_{ad}g_{bc}=g_{a}^{d}g_{bd}-g_{a}^{c}g_{bc}=g_{ab}d-g_{ab}=0.$$