coordenadas según la perspectiva

Question

El siguiente diagrama muestra un dibujo en perspectiva de dos cuadrados, con coordenadas dadas en el dibujo para algunas de las esquinas de los cuadrados (la línea de arriba es el horizonte)

El diagrama siguiente muestra los mismos dos cuadrados, ahora vistos desde arriba, con coordenadas dadas para dos de las esquinas.

Determina las coordenadas de las restantes esquinas de los dos cuadrados del segundo diagrama.

Answer 1

Afortunadamente, ambos cuadrados están en el mismo plano. Al principio, pensé que tal vez estaban en planos separados.

Dejemos que el cuadrado de abajo a la izquierda se denomine $ABCD$ con $A$ en la parte inferior izquierda y que va en sentido contrario a las agujas del reloj a partir de ahí. Dejemos que el otro cuadrado sea denotado por $CEFG$ con las letras de nuevo en sentido contrario a las agujas del reloj.

El diagrama inferior es un dibujo en perspectiva, que muestra las posiciones "reales" de las casillas. El diagrama superior es el dibujo en perspectiva, con la cámara en el infinito; distinguiremos esos puntos utilizando primos ( $'$ ), como en $A', B'$ etc. Nuestro objetivo es encontrar, para cualquier punto $P(x, y)$ en el dibujo "real", un mapeo entre éste y el punto correspondiente $P'(x', y')$ en el dibujo en perspectiva.

Comenzamos observando que $\overline{A'D'}$ y $\overline{B'C'}$ deben apuntar al mismo punto en el horizonte, ya que en "realidad" son lados paralelos de un cuadrado. Debe quedar claro que este punto está en $(0, 1)$ en el dibujo en perspectiva, por lo que el horizonte en ese dibujo tiene la ecuación $y' = 1$ . Por lo tanto, podemos formular el mapeo de la siguiente manera. Introducimos un factor de escala $\alpha$ que depende del "real" de un punto $y$ -de alguna manera, y luego

$$ x' = \alpha x $$ $$ y' = 1-\alpha $$

donde el $1$ viene del horizonte en $y' = 1$ . El punto clave para aplicar esto es $F(x, y)$ . No sabemos $x$ y $y$ pero sabemos que, de acuerdo con las transformaciones anteriores, se asignan al punto $F'(6/11, 6/11)$ . Es decir:

$$ \frac{6}{11} = \alpha x $$ $$ \frac{6}{11} = 1-\alpha $$

por lo que sabemos que $\alpha = 1-(6/11) = 5/11$ y luego

$$ x = \frac{6/11}{5/11} = 6/5 $$

Si asumimos que los cuadrados son ambos cuadrados unitarios (no se da explícitamente, pero parece probable dado lo que sigue), podemos entonces determinar $y$ basado en el teorema de Pitágoras, observando que la distancia diagonal $CF = \sqrt{2}$ con $C$ en $(1, 1)$ :

$$ (x-1)^2+(y-1)^2 = (\sqrt{2})^2 $$ $$ \left(\frac{6}{5}-1\right)^2+(y-1)^2 = 2 $$ $$ \frac{1}{25}+(y-1)^2 = 2 $$ $$ (y-1)^2 = \frac{49}{25} $$ $$ y-1 = \frac{7}{5} $$

desde $F$ está claramente por encima de $C$ Así que $y = 12/5$ . Es decir, $F$ está en las coordenadas $(6/5, 12/5)$ . Como ahora conocemos dos puntos del cuadrado superior, $C$ y $F$ deberías ser capaz de completar el problema encontrando las coordenadas de $E$ y $G$ . En primer lugar, encuentre el centro del cuadrado superior tomando la mediana del segmento $\overline{CF}$ Entonces, averigüe el $x$ y $y$ desplazamientos desde ese centro a los puntos $E$ y $G$ . (Puede ser útil dibujar esto en un papel cuadriculado).