Entero de soluciones a la ecuación de $a_1^2+\cdots +a_n^2=a_1\cdots a_n$

Question

¿Cuál es la solución general de la ecuación $$\sum_{j=1}^n a_j^2=\prod_{j=1}^n a_j,$$ $n\in \mathbb N$ , $n \ge 2$ más de $\mathbb N_0$ ?

WLOG, podemos suponer $0\le a_1 \le a_2\le \cdots \le a_n$

Para cada $n$, hay una solución, el trivial: $a_1=\cdots =a_n=0$.

Para $n=2$ , la ecuación tiene sólo la solución trivial.

Para $n=3$, las soluciones con $0\le a_1\le a_2\le a_3\le 100$ son :

? for(a=0,100,for(b=a,100,for(c=b,100,if(a^2+b^2+c^2==a*b*c,print(a," ",b,"  ",c
)))))
0 0  0
3 3  3
3 3  6
3 6  15
3 15  39
6 15  87

Para $n=4$, las soluciones con $0\le a_1\le a_2\le a_3\le a_4\le 100$ son :

?     for(a=0,100,for(b=a,100,for(c=b,100,for(d=c,100,if(a^2+b^2+c^2+d^2==a*b*c*d,pr
int(a," ",b,"  ",c," ",d))))))
0 0  0 0
2 2  2 2
2 2  2 6
2 2  6 22
2 2  22 82

Para $n=5$, las soluciones con $0\le a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le a_5 \le 100$ son :

? for(a=0,100,for(b=a,100,for(c=b,100,for(d=c,100,for(e=d,100,if(a^2+b^2+c^2+d^2
+e^2==a*b*c*d*e,print(a," ",b,"  ",c," ",d," ",e)))))))
0 0  0 0 0
1 1  3 3 4
1 1  3 3 5
1 1  3 4 9
1 1  3 5 12
1 1  3 9 23
1 1  3 12 31
1 1  3 23 60
1 1  3 31 81
1 1  4 9 33
1 1  5 12 57
1 3  3 4 35
1 3  3 5 44

Para$n=6$$0 \le a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le a_5 \le a_6 \le 100$, la única solución es la trivial.

• Lo que se sabe acerca de la solución general (una cantidad finita o infinita muchas soluciones, soluciones de parejas con las diferentes números, etc.) ?

Answer 1

en 1907, A. Hurwitz considerado el más general $$ a_1^2 + \cdots a_n^2 = A a_1 a_2 \cdots a_n, $$ todo enteros positivos. Algunas de las conclusiones son : $1 \leq A \leq n.$ fijos $n$ $A,$ las soluciones son recogidos en un árbol de soluciones, con el movimiento dentro del árbol el mismo proceso como movimiento dentro del árbol de Markov números; la gente en este sitio suelen llamar a esta Vieta de salto. Cada árbol tiene una raíz, Hurwitz llamado a esta Grundlösung y encontró a todos por $n \leq 10.$ Ummm; un resultado inmediato de Hurwitz es que sus soluciones para $n=3$ son de Markov triple de $3.$

Para cualquier solución existente para algunos $n,A,$ que puede variar de una sola entrada $a_j$ por la sustitución $$ a_j \mapsto \; \frac{A a_1 a_2 \cdots a_n}{a_j} - a_j. $$ Aquí escribí el $a_j$ en el denominador para cancelar la $a_j$ que es parte de la multiplicación en el numerador. La realización de este flip mover dos veces por el mismo $a_j$ te lleva de vuelta donde empezó; es una involución. Para la gran mayoría de $n$-tuplas, algunos $a_j$ disminuir si se volcó, a otros a aumentar o permanecer en el mismo. Una solución fundamental (Grundlösung) es uno donde todos los flip mueve aumento de todas las $a_j$ o mantener la misma. Esta es la raíz de uno de los árboles.

Asumiendo que el orden de las variables, de modo que $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n,$ una solución fundamental es, simplemente, uno de los cuales $$ 2 a_1 \leq A a_2 a_3 \cdots a_n. $$ Hurwitz found enough inequalities to show that there are a finite number of these for fixed $n,A.$ The inequalities are quite specific, if one checks all such and finds no fundamental solution, there is none. Meanwhile, my computations up to about $n= 200$ sugieren que el más fuerte

CONJETURA: En una solución fundamental con $n \geq 3,$ siempre tenemos $$ a_1 \leq \sqrt{\frac{9(n+6)}{5}}$$ e igualdad sólo se produce cuando $ n = 5 w^2 - 6,$ entero $w \geq 2.$ La específica y fundamental de la solución que da la igualdad es $$A=1, \; a_1 = 3 w, \; a_2 = 2 w, \; a_3 = 3, \; a_4 = a_5 = \cdots = a_n = 1.$$

Muchas preguntas sobre el MSE cantidad para este tipo de cosas, y la gente piensa que es nuevo en alguna manera. Si la expresión se admite que esta voltear especie de reemplazo, mantener la reducción de las entradas hasta que no se puede reducir más. Si las desigualdades revelan que no hay solución del terreno es posible, entonces el problema original no tiene solución. Esto se aplica a su $n=6, A=1.$ No hay soluciones. Un ejemplo temprano en MSE: Diophantine ecuación de cuarto grado en cuatro variables y en otro lugar: https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonian_gasket#Integral_Apollonian_circle_packings Estos círculo envases son un continuo objeto de la investigación. Un peculiar aspecto es que la raíz de las soluciones implican algunos números negativos. Hay otras irregularidades, en consonancia con este problema que implica sólo una forma cuadrática, no más alto grado de plazo, tales como el de Markov $3 a_1 a_2 a_3$ y Hurwitz $ a_1 a_2 a_3 \cdots a_n.$ creo que resultó que el Apolíneo problema no dar la genuina árboles, sólo uno gigante blob de soluciones. Ha sido un rato.

Vamos a ver, no es hasta $n=14$ que nos encontramos con dos árboles de un solo valor de $A,$, que resulta ser $A=1.$
Ordenó solución fundamental es $$n=14,A=1: \; \;(3,3,2,2,1,1,…,1).$$ Otro es $$n=14,A=1: \; \;(6,4,3,1,1,1,…,1).$$ Estos crecen en dos distintos árboles. La matemática de la palabra para esta situación es el bosque. Realmente. La cadena de $1$'s no es una sorpresa. Hurwitz mostró que una solución fundamental, para $n \geq 5,$ contiene al menos $$ n - 2 - \left\lfloor \log_2 n \right\rfloor $$ las entradas igual a $1.$

La tabla de Hurwitz: