Una métrica entre los conjuntos cerrados y acotados

Question

Dejemos que $M$ sea un espacio métrico y considere $Y(M)$ el conjunto de todos los subconjuntos cerrados y acotados de $M$ . Considere la función $ p:y\left( M \right)^2 \to R $ definido por:

$$ p\left( {X,Y} \right) = \max \left\{ {\mathop {\sup }\limits_{x \in X}\, d\left( {x,Y} \right),\mathop {\sup }\limits_{y \in Y}\, d\left( {y,X} \right)} \right\} $$ donde la distancia de un punto $x$ y un conjunto $A$ se define por:

$ d\left( {x,A} \right) = \inf \left\{ {d\left( {x,a} \right);a \in A} \right\} $ Demuestra que esta función es una distancia.

Demostré todas las propiedades excepto la desigualdad triangular. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Tenemos que suponer que los conjuntos en $Y(M)$ no están vacías. Toma $(x,y,z)\in X\times Y\times Z$ . Entonces $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ así que toma el infimo para $z\in Z$ obtenemos $$d(x,Z)\leq d(x,y)+d(y,Z)\leq d(x,y)+p(Y,Z)$$ y ahora tomamos el infimo sobre $y\in Y$ para conseguir $d(x,Z)\leq d(x,Y)+p(Y,Z)$ así que $d(x,Z)\leq p(X,Y)+p(Y,Z)$ y $\sup_{x\in X}d(x,Z)\leq p(X,Y)+p(Y,Z)$ . Ahora volvemos a $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ y tomar el infimo sobre $x\in X$ para conseguir $$d(z,X)\leq d(y,X)+d(y,z)\leq p(X,Y)+d(y,z)$$ entonces el infimo sobre $y$ tenemos $$d(z,X)\leq p(X,Y)+d(z,Y)\leq p(X,Y)+p(Y,Z)$$ que da el resultado.