Demostrando que $g(x)=\int_{0}^{\infty}f(t,x)dt$ es continua

Question

Tengo la siguiente función:
$$f(t,x)=\frac{log(x+t)}{(x+t)^2}$$ definido en $]0,\infty[\times ]0,\infty[$ . Sé que $t\rightarrow f(t,x)$ es un integrable impropio de Riemann en $]0,\infty[$ .
Quiero demostrar que $g:]0,\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ definido como: $$g(x)=\int_{0}^{\infty}f(t,x)dt$$ Es una función continua. Intento hacer esto usando el teorema de que si existe una función integrable de riemann impropia $h:]0,\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ con

$$|f(t,x)|\leq h(x)\text{ for every }(t,x)\in ]0,\infty[\times ]0,\infty[$$

entonces $g(t)$ debe ser continua.
El problema es que no puedo encontrar una función $h(x)$ tal que $$|\frac{log(x+t)}{(x+t)^2}|\leq h(x)$$
¿Puede alguien ayudarme a resolver esto?

Answer 1

¿Y si vamos directamente por la vía del cálculo?

\begin {align*} \int_ {0}^{M} \frac { \log (x+t)}{(x+t)^{2}}dt&= \frac {1}{(x+M)^{3}}- \frac {1}{x^{3}}- \int_ {0}^{M} \frac {1}{x+t} \cdot - \frac {1}{x+t}dt \\ &= \frac {1}{(x+M)^{3}}- \frac {1}{x^{3}}- \frac {1}{x+M}+ \frac {1}{x}, \end {align*} tomando el límite como $M\rightarrow\infty$ tenemos $g(x)=x^{-1}-x^{-3}$ .