Calcular la integral de flujo

Question

Dejemos que N sea la normal unitaria hacia arriba en la superficie $M:z=e^{-x^{2}-y^{2}},x^{2}+y^{2}\leq1$ . Consideremos el campo vectorial u \= $(x^{4}-y^{3},cos(x),sin(z))$

Me piden que calcule la integral de flujo $\int \int_{M}curl(u)\cdot NdS$ .

Este problema me ha hecho perder casi toda mi confianza en el tema. Con el cálculo directo no consigo nada. Entonces uso el teorema de Stokes y calculo la integral de la línea alrededor del círculo $(cos(t),sin(t), e^{-1})$ . Me salen también términos complicados de integrar como $cos(cos(t))$ .

Luego probé con (porque la superficie de integración no importa mientras el límite sea el mismo.., ¿CORRECTO?) calcular la integral sobre el disco de radio 1 en $z=e^{-1}$ porque comparten el límite. Pero de nuevo los intregales se complican demasiado. Estaría encantado de ver cómo resolverías este problema. La respuesta es $\frac{3\pi}{4}$ . Gracias

Answer 1

Para su campo $\vec{F}=\left(x^{4}-y^{3},\cos x,\sin z\right)$

$$\vec{\nabla}\times\vec{F}=\left(0,0,-\sin x+3y^{2}\right)$$

Como has dicho, puedes calcular la integral sobre el disco $D=\big\{\left(x,y,e^{-1}\right):x^{2}+y^{2}\leq 1\big\}$ así que

$$\iint_{M}\left(\vec{\nabla}\times\vec{F}\right)\cdot\vec{n}{\rm d}S=\iint_{D}\left(\vec{\nabla}\times\vec{F}\right)\cdot\vec{n}{\rm d}S=$$

$$=\iint_{D}\left(-\sin x+3y^{2}\right){\rm d}S=3\iint_{D}y^{2}{\rm d}S=$$

desde $\sin x$ es impar y la región es simétrica. Ahora puede pasar a coordenadas polares $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ para conseguir

$$=3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^{2}\sin^{2}\theta r{\rm d}r{\rm d}\theta=\frac{3\pi}{4}$$

como se quería.