¿Qué es la derivada covariante de un producto cuña?

Question

Si tenemos una derivada covariante para campos vectoriales dada por una conexión afín en una variedad, ¿podemos extenderla a una derivada covariante para k-vectores asumiendo que la regla del producto se mantiene para los productos cuña de los vectores? En otras palabras, ¿tiene sentido suponer que

$$\nabla_v(a\wedge b) = (\nabla_va)\wedge b+a\wedge (\nabla_vb) $$

donde $v$ es un campo vectorial, $a$ y $b$ son $p$ -vectorial y $q$ -campos vectoriales, y $\nabla_va$ coincide con la derivada covariante de los vectores cuando $a$ ¿es un campo vectorial?

(Me pregunto, ya que la regla del producto para el exterior derivada tiene un signo dependiente del grado, pero creo que no debería ser el caso aquí).

Answer 1

Sí, $\nabla_v (a\wedge b)=(\nabla_v a)\wedge b+a\wedge(\nabla_v b)$ para cualquier $v\in TM$ y $a,b\in\mathcal{T}^{\bullet,0}M$ . Se trata de la regla de Leibniz para el producto tensorial, proyectada hasta las partes alternas. Véase, por ejemplo, esta pregunta .

(El $(-1)^k$ signo de la derivada exterior viene de "mover $v$ pasar otros vectores" al imponer la restricción $v$ también participan en la antisimetría).