Demostrar que $\tan {\pi \over 8} = \sqrt 2 - 1$

Question

Demostrar que $\tan {\pi \over 8} = \sqrt 2 - 1$ utilizando la identidad $\tan 2\theta = {{2\tan \theta } \over {1 - {{\tan }^2}\theta }}$

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Utilizando $\tan 2\theta = {{2\tan \theta } \over {1 - {{\tan }^2}\theta }}$ con $\theta = {\pi \over {16}}$ :

$\eqalign{ & \tan {\pi \over 8} = {{2\tan {\pi \over {16}}} \over {1 - {{\tan }^2}{\pi \over {16}}}} \cr & \tan {\pi \over 8} = 0.41421.... \cr} $

Básicamente obtengo una respuesta equivalente a $\sqrt 2 - 1$ pero no una respuesta "exacta", ¿cómo hago para obtener un resultado en forma "exacta"?

Gracias.

Answer 1

Tenemos $\tan(2 \theta) = \dfrac{2 \tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}$ . Tome $\theta = \dfrac{\pi}8$ y que $t = \tan(\pi/8)$ . Entonces obtenemos $$\tan(\pi/4) = \dfrac{2 \tan(\pi/8)}{1-\tan^2(\pi/8)} = \dfrac{2t}{1-t^2}$$ Por lo tanto, obtenemos $$1-t^2 = 2t \implies (t+1)^2 = 2 \implies t = -1 \pm \sqrt2$$ Desde $t > 0$ , obtenemos que $\tan(\pi/8) = \sqrt2-1$

Answer 2

Estás haciendo esto de manera incorrecta; en su lugar, establece $\theta = \frac{\pi}{8}$ . Lo consigues:

$$\tan \frac{\pi}{4} = 1 = \frac{2\tan \frac{\pi}{8}}{1-\tan^2 \frac{\pi}{8}}$$

Multiplicar por $1-\tan^2 \frac{\pi}{8}$ y resolver la ecuación cuadrática resultante.

Si ayuda a simplificar la notación, sustituya $t=\tan^2 \frac{\pi}{8}$ . La ecuación tiene dos raíces, una positiva y otra negativa, por lo que tendrás que razonar cuál elegir.

Answer 3

Una identidad que resulta útil al considerar la proyección estereográfica y la sustitución de integración de la media tangente: $$ \tan(x/2)=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)} $$ Sabemos que $\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=1/\sqrt2$ . Por lo tanto, $$ \begin{align} \tan(\pi/8) &=\frac{1/\sqrt2}{1+1/\sqrt2}\frac{1-1/\sqrt2}{1-1/\sqrt2}\\ &=\sqrt{2}-1 \end{align} $$

Answer 4

$$\sqrt2-1=\csc\dfrac\pi4-\cot\dfrac\pi4=\dfrac{1-\cos\dfrac\pi4}{\sin\dfrac\pi4}=\dfrac{2\sin^2\dfrac\pi8}{2\sin\dfrac\pi8\cos\dfrac\pi8}=?$$ utilizando $\sin2A=2\sin A\cos A,\cos2B=1-2\sin^2B$