¿Son los subgrupos de los parámetros 1 de $SO(3)$ ¿Cerrado?

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta

Pregunta: Demostrar que todos los $1$ -parámetros subgrupo de $SO(3)$ están cerradas. ¿Esta afirmación es válida para $SO(n),$ $n>3$ ?

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Algunos comentarios

El $1$ -parámetros subgrupos de $SO(n)$ son los grupos

$$P_A := \{e^{tA};\ A \in M_n(\mathbb{R})\ \text{and}\ A+A^T = 0\}. $$

Desde $SO(n)$ es compacto el mapa exponencial es suryente, y el mapa $\mathbb{R}\to P_A\ (t\mapsto e^{tA})$ es un isomorfismo de grupos (es fácil ver que $0$ es el único elemento del núcleo, ya que $e^B = \text{Id}$ $\Leftrightarrow B =0$ ) homomorfismo de grupos.

Siendo honesto no puedo creer que $P_A$ se cierra cuando $n=3$ El hecho de $P_A \cong \mathbb{R}$ como grupo hace que no tenga ni idea de lo que está pasando, una vez $P_A$ cerrado implicaría $P_A$ compacto.

EDIT: Tras la ayuda de Reuns me he dado cuenta de que he escrito algo que no tiene ningún sentido.

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¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Sugerencia En este caso se puede calcular el $1$ -parámetros de los subgrupos de forma bastante explícita.

Consideremos el subgrupo de un parámetro generado por la matriz sesgada-simétrica (y por tanto diagonalizable) $A$ . Sus valores propios son imaginarios y (ya que $A$ es real) cerrado bajo conjugación, por lo que los valores propios son $+ \lambda i, -\lambda i, 0$ para algunos $\lambda \geq 0 $ . Diagonalizar $A$ entonces da $$A = P D P^{-1}, \qquad D := \pmatrix{\lambda i\\&-\lambda i\\&&0} ,$$ para alguna matriz $P$ . Ahora, calcula $\exp t A$ en términos de $D$ .

Sugerencia adicional Utilizando, por ejemplo, la fórmula habitual de la serie para $\exp$ da que $$\exp tA = \exp t (P D P^{-1}) = P (\exp t D) P^{-1} .$$